Системы и совокупности неравенств

Система неравенств . Задана система двух неравенств с одной переменной, если требуется найти все значения переменной. при которых оба неравенства системы обращаются в верные числовые неравенства.

Решение системы неравенств. Решением системы неравенств называют такое значение переменной, при котором неравенства системы образуются в верные числовые неравенства.

Замечание. Стандартное обозначение системы неравенств: $$ \left\{ \begin{array}{l} f_1 (x) > g_1 (x), \\ f_2 (x) \le g_2 (x) \\ \end{array} \right.$$

Пример: Решите систему неравенств $$ \left\{ \begin{array}{l} x^2 > 7, \\ 4x > 16, \\ 2x \le 10 \\ \end{array} \right.$$

Решение. Решая простейшие неравенства получаем $$ \left\{ \begin{array}{l} x^2 > 7, \\ 4x > 16, \\ 2x \le 10 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x^2 > 7, \\ x > 4, \\ x \le 5 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x > \sqrt 7 , \\ 4 < x \le 5 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow 4 < x \le 5$$. Ответ: $$ \left( {4;5} \right]$$

Совокупность неравенств . Задана совокупность двух неравенств с одной переменной, если требуется найти все такие значения переменной, при каждом из которых хотя бы одно из неравенств совокупности, обращается в верное числовое неравенство.

Решение совокупности неравенств. Решением совокупности неравенств называют значение переменной, обращающее хотя бы одно из неравенств совокупности в верное числовое неравенство.

Замечание. Стандартное обозначение совокупности: $$ \left[ \begin{array}{l} f_1 (x) > g_1 (x), \\ f_2 (x) < g_2 (x) \\ \end{array} \right.$$

Пример: Решить совокупность неравенств $$ \left[ \begin{array}{l} x^2 > 7, \\ 4x > 16, \\ 2x \le 10 \\ \end{array} \right.$$

Решение. Мы видим, что объединение множеств решений неравенств совокупности - это вся числовая ось: $$ \left[ \begin{array}{l} x^2 > 7, \\ 4x > 16, \\ 2x \le 10 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left[ { - \sqrt 7 < x,\quad x > \sqrt 7 } \right. \\ x > 4 \\ x \le 5 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ; + \infty } \right)$$.

2017-08-08 15:43:43