Решение показательных уравнений: теоретический справочник

Решение показательных уравнений основывается на теореме: $$f(g_1 (x)) = f(g_2 (x)) \Leftrightarrow g_1 (x) = g_2 (x)$$ на множестве E, если для любого $$x \in E$$ функция f монотонна на множестве $$g_1 (E) \cup g_2 (E)$$.

Способы решения показательных уравнений

1. Простейшее уравнение $$a^x = b,\quad a > 0,\;a \ne 1$$ имеет решение $$x = \log _a b$$.

2. Уравнение вида $$a^{f(x)} = b,\quad a > 0,\;a \ne 1$$ логарифмированием по основанию a сводят к виду $$f(x) = \log _a b$$.

3. Уравнение вида $$a^{f(x)} = a^{g(x)} ,\quad a > 0,\;a \ne 1$$ равносильно уравнению $$f(x) = g(x)$$.

4. Уравнение вида $$f(a^x ) = 0$$ через замену $$t = a^x $$ сводят к многочлену $$f(t) = 0$$, а затем решают совокупность простейших показательных уравнений $$a^x = t_i $$.

5. Уравнение со взаимно обратными величинами $$F(a^{g(x)} ,a^{ - g(x)} ) = 0$$ заменой $$t = a^{g(x)} $$ сводят к уравнению $$F(t,t^{ - 1} ) = 0$$, а затем решают совокупности уравнений $$a^{g(x)} = t_i $$.

6. Уравнения, однородные относительно $$a^{g(x)} $$ и $$b^{g(x)} $$ при условии $$a > 0,\quad a \ne 1,\quad b > 0,\quad b \ne 1,\quad a \ne b$$ вида $$F(a^{g(x)} ,b^{g(x)} ) = 0$$ через замену $$t = \left( {\frac{a}{b}} \right)^{g(x)} $$ сводят к многочлену $$F(t,1) = 0$$, а затем решают совокупности уравнений $$\left( {\frac{a}{b}} \right)^{g(x)} = t_i $$

2017-08-07 21:17:32