Ключевые слова: исследование функции, построение графика, область определения, множества значений, четность и нечетность функции, периодичность, асимптоты, убывание функции, возрастание функции, экстремумы.

Если функция f ( x ) дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке.
Обратное неверно: непрерывная функция может не иметь производной.

Например, функция y = | x | всюду непрерывна, но она не имеет производной при x = 0 , так как в этой точке не существует касательной к графику этой функции.

Следствие. Если функция разрывна в некоторой точке, то она не имеет производной в этой точке.

Теорема Дарбу. Точки, в которых производная функции равна 0 или не существует, делят область определения функции на интервалы, внутри которых производная сохраняет знак.

Используя эти интервалы, можно найти интервалы монотонности функций, что очень важно при их исследовании.

Внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками этой функции.

Эти точки очень важны при анализе функции и построении её графика, потому что только в этих точках функция может иметь экстремум ( минимум или максимум).

Необходимое условие экстремума. Если x₀ - точка экстремума функции f ( x ) и производная f’ существует в этой точке, то f’ ( x₀ ) = 0.

Эта теорема - необходимое условие экстремума. Если производная функции в некоторой точке равна 0, то это не значит, что функция имеет экстремум в этой точке.

Например, производная функции f ( x ) = x ³ равна 0 при x = 0, но эта функция не имеет экстремум в этой точке.
С другой стороны, функция y = | x | , имеет минимум в точке x = 0 , но в этой точке производной не существует.

См. также:
Исследование графика функции, Свойства элементарных функций, Область определения функции, Множество значений сложной функции, Преобразование графика функции, Четность-нечетность функции