Преобразование подынтегрального выражения

Теорема. Пусть требуется вычислить $$ \int {f(x)} dx $$. Предположим, что существуют дифференцируемые функции $$ u = \varphi (x)$$ и $$ g(u) $$, такие , что $$ f(x)dx = g\left( {\varphi (x)} \right)\varphi '(x)dx = g(u)du$$, тогда $$ \int {f(x)dx} = \int {g\left( {\varphi (x)} \right)\varphi '(x)dx} = \int {g(u)du}$$.

Замечание. При интегрировании совершая преобразование подынтегрального выражения бывают полезны следующие равенства:

$$ \quad$$ $$ xdx = \frac{1}{2}d(x^2 )$$

 
$$ \quad$$ $$ x^{n - 1} dx = \frac{1}{n}d(x^n ) $$
$$ \quad$$ $$ \frac{{dx}}{x} = d(\ln x)$$
$$ \quad$$ $$ e^x dx = d(e^x )$$

$$ \quad$$ $$ \sin x dx = - d(\cos x) $$

 

$$ \quad$$ $$ \cos xdx = d(\sin x)$$
$$ \quad$$ $$ \frac{{dx}}{{1 + x^2 }} = d(arctgx) $$
$$ \quad$$ $$ \frac{{dx}}{{\cos ^2 x}} = d\left( {tgx} \right)$$

$$ \quad$$ $$ \frac{{dx}}{{\sqrt {1 - x^2 } }} = d\left( {\arcsin x} \right) $$

 
$$ \quad$$ $$ \frac{{dx}}{{\sin ^2 x}} = - d(ctgx)$$
$$ \quad$$ $$ \frac{{dx}}{{\sqrt x }} = 2d(\sqrt x )$$