Иррациональные уравнения: примеры и достаточные знания свойств, необходимые для решения заданий

Задания
Достаточные знания свойств
Формулы
$$\quad $$ $$\sqrt[5]{{x^4 - 49}} = 2 \Leftrightarrow x^4 - 49 = 2^5 $$
Свойство корня n-ой степени $$\sqrt[n]{a}$$
$$\quad $$ $$\left( {\sqrt[n]{a}} \right)^n = a$$
$$\quad $$ $$x^2 - \left( {\sqrt {x + 3} } \right)^2 - 17 = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x^2 - \left( {x + 3} \right) - 17 = 0; \\ x + 3 \ge 0. \\ \end{array} \right.$$
Свойство корня четной степени $$\sqrt[{2k}]{a}$$
$$\quad $$ $$\left( {\sqrt[{2k}]{a}} \right)^{2k} = a,\quad a \ge 0$$
$$\quad $$ $$\sqrt {x + 2} = x - 4 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x - 4 \ge 0, \\ x + 2 = \left( {x - 4} \right)^2 \\ \end{array} \right.$$
Свойство равносильности иррациональных уравнений $$ \sqrt {f(x)} = g(x) $$
$$\quad $$ $$\sqrt {f(x)} = g(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} g(x) \ge 0, \\ f(x) = g^2 (x) \\ \end{array} \right.$$
$$\quad $$ $$\sqrt {x - 3} = \sqrt {x^2 - 2x - 7} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x - 3 = x^2 - 2x - 7, \\ x - 3 \ge 0. \\ \end{array} \right.$$
Свойство равносильности иррациональных уравнений $$\sqrt {f(x)} = \sqrt {g(x)} $$
$$\quad $$ $$\sqrt {f(x)} = \sqrt {g(x)} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f(x) = g(x), \\ \left[ \begin{array}{l} g(x) \ge 0, \\ f(x) \ge 0. \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right.$$
$$\quad $$ $$\sqrt {x^2 - 16} = - \sqrt {x - 4} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x^2 - 16 = 0; \\ x - 4 = 0. \\ \end{array} \right.$$
Свойство равносильности иррациональных уравнений $$\sqrt {f(x)} = - \sqrt {g(x)} $$
$$\quad $$ $$\sqrt {f(x)} = - \sqrt {g(x)} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f(x) = 0, \\ g(x) = 0. \\ \end{array} \right.$$
$$\quad $$ $$\left( {x^2 + 5x} \right)\sqrt {x - 3} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} x^2 + 5x = 0, \\ x - 3 = 0, \\ \end{array} \right. \\ x - 3 \ge 0 \\ \end{array} \right.$$
Свойство равносильности иррациональных уравнений $$g(x) \cdot \sqrt {f(x)} = 0$$
$$\quad $$ $$g(x) \cdot \sqrt {f(x)} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} g(x) = 0, \\ f(x) = 0, \\ \end{array} \right. \\ f(x) \ge 0. \\ \end{array} \right.$$

Пример. Решите уравнение $$\sqrt {2x + 9} - x = - 3$$

Решение: $$\sqrt {2x + 9} - x = - 3 \Leftrightarrow \sqrt {2x + 9} = x - 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x - 3 \ge 0, \\ 2x + 9 = \left( {x - 3} \right)^2 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge 3, \\ x^2 - 8x = 0. \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge 3, \\ x_1 = 0,x_2 = 8. \\ \end{array} \right.$$

Ответ: $$x_1 = 0,\quad x_2 = 8$$

Для решения используем последовательно знания следующих свойств:

  • Свойство равносильности иррациональных уравнений: $$\sqrt {f(x)} = g(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} g(x) \ge 0, \\ f(x) = g^2 (x) \\ \end{array} \right.$$
  • Формулы сокращенного умножения: $$\left( {a \pm b} \right)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 $$
  • Решение неполных квадратных уравнений
2017-01-13 23:21:41