Квадратный трехчлен. Теорема Виета

Ключевые слова: квадратный трехчлен, разложение на множители, теорема Виета

Квадратный трехчлен раскладывается на множители: ax 2 + bx + c = a ( x x 1 )( x x 2 ) ,
где $$x_{1}= \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}, x_{2}= \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$$, $$D = b^{2} - 4ac$$ в том случае, если D > 0.
Если D < 0, то такое разложение на множители невозможно и квадратный трехчлен ax 2 + bx + c не имеет действительных корней.

Если D > 0, то квадратный трехчлен имеет два корня (при D = 0 они совпадают). Если же D < 0, то трехчлен не имеет действительных корней.

Пример. Разложить на множители квадратный трехчлен x 2 – 4 x + 3.

Решение.

1 способ. По формулам $$x_{1}= \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}, x_{2}= \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$$, где $$D = b^{2} - 4ac$$ найдем корни данной квадратичной функции: $$x_{1} = 1$$ и $$x_{2} = 3$$.
Применяя формулу для разложения квадратичной функции на множители, получаем: x 2 – 4 x + 3 = ( x – 1)( x - 3).

2 способ. Применим непосредственное выделение полного квадрата.
x 2 – 4 x + 3 = x 2 – 4 x + 4 – 1 = ( x – 2) 2 – 1 = ( x – 2) 2 – 1 2 = ( x – 2 + 1)( x – 2 – 1) = ( x – 1)( x – 3).

Ответ. ( x – 1)( x – 3).

Теорема Виета Если квадратный трёхчлен ax 2 + bx + c, где $$a \ne 0$$ имеет корни, то справедливы следующие соотношения: $$x_{1} + x_{2} = -\frac{b}{a}$$ и $$x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}$$.

Пример. Пусть $$x_{1}$$ и $$x_{2}$$ - корни квадратичной функции x 2 + px + q = 0 Найти, чему равно значение выражения $$\frac{x_{1}}{x_{2}} + \frac{x_{2}}{x_{1}}$$.

Решение. Так как x 1 и x 2 - корни квадратичной функции x 2 + px + q = 0 , то справедливы соотношения: $$x_{1} + x_{2} = - p$$ и $$x_{1} \cdot x_{2} = q$$. Тогда имеем: $$\frac{x_{1}}{x_{2}} + \frac{x_{2}}{x_{1}} = \frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}{x_{1}x_{2}}= \frac{(x_{1} + x_{2})^{2} - 2x_{1}x_{2}}{x_{1}x_{2}} = \frac{(-p)^{2} - 2q}{q} =
\frac{p^{2} - 2q}{q} = \frac{p^{2}}{q} - 2$$.

Ответ. $$\frac{p^{2}}{q} - 2$$
2017-08-07 19:37:23