Ключевые слова: квадратный трехчлен, разложение на множители, теорема Виета
Квадратный трехчлен раскладывается на множители: ax 2 + bx + c = a ( x – x 1 )( x – x 2 ) ,
где $$x_{1}= \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}, x_{2}= \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$$, $$D = b^{2} - 4ac$$ в том случае, если D > 0.
Если D < 0, то такое разложение на множители невозможно и квадратный трехчлен ax 2 + bx + c не имеет действительных корней.
Если D > 0, то квадратный трехчлен имеет два корня (при D = 0 они совпадают). Если же D < 0, то трехчлен не имеет действительных корней.
Решение.
1 способ. По формулам $$x_{1}= \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}, x_{2}= \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$$, где $$D = b^{2} - 4ac$$ найдем корни данной квадратичной функции: $$x_{1} = 1$$ и $$x_{2} = 3$$.
Применяя формулу для разложения квадратичной функции на множители, получаем: x 2 – 4 x + 3 = ( x – 1)( x - 3).
2 способ. Применим непосредственное выделение полного квадрата.
x 2 – 4 x + 3 = x 2 – 4 x + 4 – 1 = ( x – 2) 2 – 1 = ( x – 2) 2 – 1 2 = ( x – 2 + 1)( x – 2 – 1) = ( x – 1)( x – 3).
Ответ. ( x – 1)( x – 3).
Пример. Пусть $$x_{1}$$ и $$x_{2}$$ - корни квадратичной функции x 2 + px + q = 0 Найти, чему равно значение выражения $$\frac{x_{1}}{x_{2}} + \frac{x_{2}}{x_{1}}$$.
Решение. Так как x 1 и x 2 - корни квадратичной функции x 2 + px + q = 0 , то справедливы соотношения: $$x_{1} + x_{2} = - p$$ и $$x_{1} \cdot x_{2} = q$$. Тогда имеем: $$\frac{x_{1}}{x_{2}} + \frac{x_{2}}{x_{1}} = \frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}{x_{1}x_{2}}= \frac{(x_{1} + x_{2})^{2} - 2x_{1}x_{2}}{x_{1}x_{2}} = \frac{(-p)^{2} - 2q}{q} =
\frac{p^{2} - 2q}{q} = \frac{p^{2}}{q} - 2$$.