логин
пароль
 
Забыли пароль?

Уравнения с модулем: примеры и достаточные знания, необходимые для решения заданий

Задания
Достаточные знания свойств
Формулы
$$\quad $$ $$x^2 - 5x - \left| {x - 6} \right| + 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x - 6 \ge 0, \\ x^2 - 5x - \left( {x - 6} \right) + 9 = 0; \\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} x - 6 < 0, \\ x^2 - 5x + \left( {x - 6} \right) + 9 = 0. \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right.$$
Определение модуля числа $$ \left| a \right| $$
$$\quad $$ $$\left| a \right| = \left[ \begin{array}{l} a,\quad a \ge 0, \\ - a,\quad a < 0. \\ \end{array} \right.$$
$$\quad $$ $$\left| {x - 5} \right| = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x - 5 = 3 \\ x - 5 = - 3 \\ \end{array} \right.$$
Свойство равносильности уравнений $$\left| {f(x)} \right| = a$$
$$\quad $$ $$\left| {f(x)} \right| = a \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a > 0 \\ \left[ \begin{array}{l} f(x) = a,\quad \\ f(x) = - a,\quad \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right.$$
$$\quad $$ $$\left| {x^2 - 4} \right| = 0 \Leftrightarrow x^2 - 4 = 0$$
Свойство равносильности уравнений $$\left| {f(x)} \right| = a$$
$$\quad $$ $$\left| {f(x)} \right| = a \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 0 \\ f(x) = 0 \\ \end{array} \right.$$
$$\quad $$ $$\left| {x^2 - 4x} \right| = - 5 \Leftrightarrow x \in \emptyset $$
Свойство равносильности уравнений $$\left| {f(x)} \right| = a$$
$$\quad $$ $$\left| {f(x)} \right| = a \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a < 0, \\ x \in \emptyset . \\ \end{array} \right.$$
$$\quad $$ $$\left| {x^2 - x - 2} \right| = x^2 - x - 2 \Leftrightarrow x^2 - x - 2 \ge 0$$
Свойство равносильности уравнений $$\left| {f(x)} \right| = f(x)$$
$$\quad $$ $$\left| {f(x)} \right| = f(x) \Leftrightarrow f(x) \ge 0$$
$$\quad $$ $$\left| {x^2 - 9} \right| = 9 - x^2 \Leftrightarrow 9 - x^2 \le 0$$
Свойство равносильности уравнений $$\left| {f(x)} \right| = - f(x)$$
$$\quad $$ $$\left| {f(x)} \right| = - f(x) \Leftrightarrow f(x) \le 0$$
$$\quad $$ $$\left| {x + 3} \right| = \left| {2x - 5} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x + 3 = 2x - 5 \\ x + 3 = 5 - 2x \\ \end{array} \right.$$
Свойство равносильности уравнений $$\left| {f(x)} \right| = \left| {g(x)} \right|$$
$$\quad $$ $$\left| {f(x)} \right| = \left| {g(x)} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} f(x) = g(x), \\ f(x) = - g(x). \\ \end{array} \right.$$
$$\quad $$ $$\left| {x^2 - 4} \right| = - \left| {x^2 - x - 2} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x^2 - 4 = 0, \\ x^2 - x - 2. \\ \end{array} \right.$$
Свойство равносильности уравнений $$\left| {f(x)} \right| = - \left| {g(x)} \right|$$
$$\quad $$ $$\left| {f(x)} \right| = - \left| {g(x)} \right| \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f(x) = 0, \\ g(x) = 0. \\ \end{array} \right.$$

Пример. Решите уравнение $$x^2 - \left| x \right| - 2 = 0$$

Решение: Введем замену $$\left| x \right| = a,\quad a \ge 0$$, тогда $$x^2 = \left| x \right|^2 = a^2 \Rightarrow a^2 - a - 2 = 0 \Rightarrow a_1 = 2,\;a_2 = - 1$$ - корни уравнения. Вернемся к замене $$\left| x \right| = 2 \Rightarrow x_1 = 2,\;x_2 = - 2$$ и $$\left| x \right| = - 1 \Rightarrow x \in \emptyset $$

Ответ: $$x_1 = 2,\;x_2 = - 2 $$

Для решения используем последовательно знания следующих свойств:

  • Метод решения уравнений: введение новой переменной.
  • Свойство модуля : $$\left| a \right|^2 = a^2 $$
  • Решение квадратного уравнения
  • Определение модуля числа $$ \left| a \right| $$ : $$\left| a \right| = \left[ \begin{array}{l} a,\quad a \ge 0, \\ - a,\quad a < 0. \\ \end{array} \right.$$
  • Свойство равносильности уравнений $$\left| {f(x)} \right| = a$$ : $$\quad $$ $$\left| {f(x)} \right| = a \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a < 0, \\ x \in \emptyset . \\ \end{array} \right.$$