Наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел

Пусть даны числа 14 и 16. Выпишем все числа, кратные числа 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120. Также выпишем все числа, кратные числа 16: 16, 32, 48, 64, 80, 96, 112, 128. Среди выписанных чисел есть одинаковые: 48 и 96. Все эти числа назывыаются общими кратными чисел 14 и 12, наименьшее среди них число 48 называется наименьшим общим кратным чисел 14 и 12 .

Для любых заданных натуральных чисел a и b можно найти наименьшее общее кратное. Он обозначается HOK(a,b) и читается: "HOK от a и b" . Например, HOK(a,b ) = HOK(14,12) = 48.

Замечание. Любое общее кратное чисел a и b делится на HOK(a,b ).

Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких чисел, надо разложть их на простые множители, и вычислить произведение всех простых множителей, взяв каждый из них с наибольшим, из имеющихся, показателем степени.

Пример: $$ \quad \quad $$Найти HOK(56,84,96)

Решение: $$ \quad \quad $$$$ 56 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7 = 2^3 \cdot 7 $$

$$ \quad \quad \quad \quad \quad \quad $$$$96 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^5 \cdot 7 $$

$$ \quad \quad \quad \quad \quad \quad$$$$ 84 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 $$

и тогда HOK(56,84,96) = $$ 2^5 \cdot 3 \cdot 7 $$ = 672

Теорема. Для любых натуральных чисел a и b справедливо равенство $$ HOD(a,b) \cdot HOK(a,b) = ab$$ . Если числа a и b взаимно простые, т.е.HOD(a,b) = 1, то HOK(a,b) = ab.

Наименьшее общее кратное двух взаимно простых чисел равно произведению этих чисел.

 

2017-01-14 06:55:03