Неравенства с переменной

Неравенство с переменной. Неравенство с одной переменной имеет вид $$ f(x) \vee g(x)$$, где $$ f(x)$$, $$g(x)$$ - некоторые функции.

Решением неравенства называют значение переменной, при подстановке которого в данное неравенство получается верное числовое неравенство.

Решить неравенство - означает найти его решения или доказать, что их нет.

ОДЗ. Областью допустимых значений неравенства называют множество, на котором определены обе функции $$f(x)$$, $$g(x)$$

Равносильные неравенства. Неравенства равносильны, если они имеют одно и то же множество решений или оба неравенства не имеют решения.

Пример. Неравенства $$ x^2 + 1 < 0 $$ и $$ x^2 - x + 1 < 0 $$ равносильны так как оба не имеют решений:
решая первое неравенство получим $$ x^2 + 1 < 0 \Leftrightarrow x^2 < - 1 \Rightarrow x \in \emptyset$$, а решая второе получим $$ x^2 - x + 1 < 0 \Leftrightarrow \left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2 + \frac{3}{4} < 0 \Leftrightarrow \left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2 < - \frac{3}{4} \Rightarrow x \in \emptyset $$

Замечание. Переход к равносильному неравенству принято обозначать так: $$ \Leftrightarrow $$.

Неравенство следствия. Данное неравенство является следствием некоторого другого неравенства, если каждое решение другого неравенства является решением данного.

Замечание. Переход от данного неравенства следствия к другому неравенству принято обозначать так: $$\Rightarrow$$.

Пример. Неравенство $$x^2 > 1$$ является следствием неравенства $$ x > 1 $$, так как решением неравенства $$x^2 > 1$$ является множество $$ x \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$$, а решением неравенства $$ x > 1 $$ - множество $$ x \in \left( {1; + \infty } \right)$$.
2017-01-14 00:21:06