логин
пароль
 
Забыли пароль?

Биквадратные уравнения

Биквадратное уравнение. Уравнение вида $$ x^4 + bx^2 + c = 0$$, называется биквадратным уравнением.

Замечание. Биквадратное уравнение можно заменой $$ y = x^2$$ свести к квадратному уравнению $$ y^2 + by + c = 0$$.

Пример: Решите уравнение $$ x^4 - 10x^2 + 1 = 0$$

Решение. Пусть $$ y = x^2 ,\quad y^2 - 10y + 1 = 0$$, тогда $$ y_{1,2} = 5 \pm \sqrt {24} $$ .
Решая совокупность неполных квадратных уравнений $$ \left[ \begin{array}{l} x^2 = 5 + \sqrt {24} \\ x^2 = 5 - \sqrt {24} \\ \end{array} \right. $$, получим ответ $$
x_{1,2,3,4} = \pm \sqrt {5 \pm \sqrt {24} } $$

Замечание. Биквадратное уравнение можно решить заменой $${y = x + \frac{1}{x}}$$ , при условии, что c>0

Пример: Решите уравнение $$ x^4 - 10x^2 + 1 = 0$$

Решение. Разделим обе части на $$ x^2$$, тогда получим $$ x^2 + \frac{1}{{x^2 }} - 10 = 0,\quad x^2 + 2x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{{x^2 }} - 12 = 0,\quad \left( {x + \frac{1}{x}} \right)^2 = 12$$ , откуда $$ x + \frac{1}{x} = \pm \sqrt {12} $$.
Решая совокупность уравнений $$ \left[ \begin{array}{l} x + \frac{1}{x} = \sqrt {12} \\ x + \frac{1}{x} = - \sqrt {12} \\ \end{array} \right.\quad \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x^2 - \sqrt {12} x + 1 = 0 \\ x^2 + \sqrt {12} x + 1 = 0 \\ \end{array} \right. $$, получим ответ $$ \left[ \begin{array}{l} x_{1,2} = \sqrt 3 \pm \sqrt 2 \\ x_{3,4} = - \sqrt 3 \pm \sqrt 2 \\ \end{array} \right.$$

Замечание. Применяя формулы сложного радикала $$ \sqrt {a \pm \sqrt b } = \sqrt {\frac{{a + \sqrt {a^2 - b} }}{2}} \pm \sqrt {\frac{{a - \sqrt {a^2 - b} }}{2}}$$ получим для корней нашего уравнения следующее соотношение $$ x_{1,2,3,4} = \pm \sqrt {5 \pm \sqrt {24} } = \pm \left( {\sqrt {\frac{{5 + \sqrt {25 - 24} }}{2}} \pm \sqrt {\frac{{5 - \sqrt {25 - 24} }}{2}} } \right) = \pm \left( {\sqrt 3 \pm \sqrt 2 } \right)$$.