Пример: Решите уравнение $$ x^4 - 10x^2 + 1 = 0$$
Решение. Пусть $$
y = x^2 ,\quad y^2 - 10y + 1 = 0$$, тогда $$
y_{1,2} = 5 \pm \sqrt {24}
$$ .
Решая совокупность неполных квадратных уравнений $$
\left[ \begin{array}{l}
x^2 = 5 + \sqrt {24} \\
x^2 = 5 - \sqrt {24} \\
\end{array} \right.
$$, получим ответ $$
x_{1,2,3,4} = \pm \sqrt {5 \pm \sqrt {24} }
$$
Замечание. Биквадратное уравнение можно решить заменой $${y = x + \frac{1}{x}}$$ , при условии, что c>0
Пример: Решите уравнение $$ x^4 - 10x^2 + 1 = 0$$
Решение. Разделим обе части на $$
x^2$$, тогда получим $$
x^2 + \frac{1}{{x^2 }} - 10 = 0,\quad x^2 + 2x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{{x^2 }} - 12 = 0,\quad \left( {x + \frac{1}{x}} \right)^2 = 12$$ , откуда $$
x + \frac{1}{x} = \pm \sqrt {12}
$$.
Решая совокупность уравнений $$
\left[ \begin{array}{l}
x + \frac{1}{x} = \sqrt {12} \\
x + \frac{1}{x} = - \sqrt {12} \\
\end{array} \right.\quad \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x^2 - \sqrt {12} x + 1 = 0 \\
x^2 + \sqrt {12} x + 1 = 0 \\
\end{array} \right.
$$, получим ответ $$
\left[ \begin{array}{l}
x_{1,2} = \sqrt 3 \pm \sqrt 2 \\
x_{3,4} = - \sqrt 3 \pm \sqrt 2 \\
\end{array} \right.$$
Замечание. Применяя формулы сложного радикала $$ \sqrt {a \pm \sqrt b } = \sqrt {\frac{{a + \sqrt {a^2 - b} }}{2}} \pm \sqrt {\frac{{a - \sqrt {a^2 - b} }}{2}}$$ получим для корней нашего уравнения следующее соотношение $$ x_{1,2,3,4} = \pm \sqrt {5 \pm \sqrt {24} } = \pm \left( {\sqrt {\frac{{5 + \sqrt {25 - 24} }}{2}} \pm \sqrt {\frac{{5 - \sqrt {25 - 24} }}{2}} } \right) = \pm \left( {\sqrt 3 \pm \sqrt 2 } \right)$$.
Замечание. Биквадратное уравнение можно заменой $$ y = x^2$$ свести к квадратному уравнению $$ y^2 + by + c = 0$$.