логин
пароль
 
Забыли пароль?

Определение производной

Ключевые слова: средняя скорость материальной точки, мгновенная скорость, правая и левая производная,:

Для решения многих задач требуется найти разность значений функции в двух точках.
Так, средняя скорость материальной точки за промежуток времени $$\Delta t$$ равна $$ v(t)= \frac{S(t + \Delta t) - S(t)}{\Delta t}$$.
Если рассматриваемое движение не является равномерным, то чем меньше выбран промежуток времени $$\Delta t$$ , тем лучше указанная формула будет характеризовать движение точки.

В идеале мы получаем понятие мгновенной скорости v : это предел, к которому стремится средняя скорость, когда $$\Delta t$$ → 0, то есть $$v = lim_{\Delta t \to 0}{\frac{S(t + \Delta t) - S(t)}{\Delta t}}$$

Пусть функция y = f (x) определена в некоторой окрестности точки $$x_{0}$$ и существует конечный предел отношения $${\frac{f(x_{0} + \Delta x) - f(x_{0})}{\Delta x}}$$ при $$\Delta$$ x → 0.
Тогда этот предел называется производной функции в точке $$x_{0}:
$$ $$f'(x_{0}) = lim_{\Delta x \to 0}{\frac{f(x_{0} + \Delta x) - f(x_{0})}{\Delta x}}$$

Производная функции y = f (x) может также обозначаться одним из следующих способов:
$$f'_{x}(x_{0})$$, $$y'(x_{0})$$, $$df \over dx$$.
Если приращение функции f (x 0 + $$\Delta$$ x) - f (x 0) обозначить как $$\Delta$$ y , то определение можно записать так:
$$f'(x_{0}) = lim_{\Delta x \to 0}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}$$.
Из определения производной и предела функции следует, что
$$\Delta y = f'(x_{0})\Delta x + \Delta x\alpha (\Delta x )$$, где ($$\alpha \Delta$$ x ) - бесконечно малая функция при $$\Delta$$ x → 0.

По аналогии с пределами вводится понятие правой и левой производных:
$$ f_{+}'(x_{0}) = lim_{\Delta x \to + 0}{\frac{f(x_{0} + \Delta x) - f(x_{0})}{\Delta x}}$$,
$$f_{-}'(x_{0}) = lim_{\Delta x \to - 0}{\frac{f(x_{0} + \Delta x) - f(x_{0})}{\Delta x}} $$.

Если существует производная в точке $$x_0$$ то существуют левая и правая производная в этой же точке, причем $$f_{-}'(x_{0}) = f_{+}'(x_{0})= f'(x_{0})$$.

Обратное также верно: если $$f_{-}'(x_{0}) = f_{+}'(x_{0})$$, то производная $$f'(x)$$ в точке $$x_{0}$$ существует и равна левой и правой производным.

Можно ввести также понятие бесконечной производной $$f'(x)= +\infty, f'(x)= -\infty, f'(x)= \infty$$
(последний случай может иметь место, если, например, $$lim_{\Delta x \to +0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = +\infty, lim_{\Delta x \to -0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = -\infty$$.

Если функция дифференцируема в точке x 0, то она непрерывна в этой точке.

Обратное, вообще говоря, неверно.
Примером может служить функция y = | x |, непрерывная в точке x = 0, но имеющая в ней "излом".
Производная этой функции в точке x = 0 не существует, так как $$f_{-}'(x_{0}) \ne f_{+}'(x_{0})$$ : $$f_{-}'(0)= -1, f_{+}'(0)= 1 $$.