Решения тригонометрических уравнений: теоретический справочник

Уравнения вида $$\sin x = g(x)$$ и $$\cos x = g(x)$$ решаются с ограничением на x вида $$\left| {g(x)} \right| \le 1$$.

Уравнения вида $$tgx = h(x)$$ и $$ctgx = h(x)$$ решаются без ограничений на x выражения $$h(x)$$.

Уравнения вида $$R(\sin x,\cos x) = 0$$, где R - дробно-рациональная функция, решают

заменой переменной: применяется универсальная подстановка $$t = tg\left( {\frac{x}{2}} \right)$$, тогда $$\sin x = \frac{{2t}}{{1 + t^2 }}$$, $$\cos x = \frac{{1 - t^2 }}{{1 + t^2 }}$$ и исходное уравнение сводится к уравнению вида $$R\left( {\frac{{2t}}{{1 + t^2 }},\frac{{1 - t^2 }}{{1 + t^2 }}} \right) = 0$$, а это уже многочлен $$F(t) = 0$$, затем решается совокупность уравнений $$tg\left( {\frac{x}{2}} \right) = t_i $$;

введением вспомогательного аргумента: уравнения вида $$\varphi = actg\left( {\frac{a}{b}} \right)$$ сводится к простейшему уравнению $$\sin \left( {x + \varphi } \right) = \frac{c}{{\sqrt {a^2 + b^2 } }}$$.

Замечание 1. При универсальной подстановке следует помнить, что $$x \ne \left( {2n + 1} \right)\pi $$ и поэтому надо проверить, не является ли $$x = \left( {2n + 1} \right)\pi $$ корнем исходного уравнения.

Замечание 2. Используют замену $$t = \sin x$$ в уравнениях, которые не меняются при замене x на $$\pi - x$$. Используют замену $$t = \cos x$$ в уравнениях, которые не меняются при замене x на -x. Используют замену $$t = tgx$$ в уравнениях, которые не меняются при замене x на $$\pi + x$$ или однородных относительно sinx и cosx. Указанные замены сводят исходное уравнение к уравнению вида $$R(t) = 0$$.

Замечание 3. Уравнения sinx = a и cosx = a имеют решение только при условии $$\left| a \right| \le 1$$, а уравнения tgx = a и ctgx = a имеют решения при любом $$a \in R$$.

2017-08-08 18:52:42