Уравнения: общий теоретический справочник

  • Уравнением с одной переменной x называется выражение f(x) = g(x), содержащее переменную величину x и знак равенства.
  • Число a называется корнем (или решением) уравнения f(x) = g(x), если при подстановке этого числа в уравнение получается верное числовое равенство.
  • Решить уравнение - значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Замечание. Важно понимать, что решение - это число, например, 15 или $$\sqrt 2 $$, поэтому ответ при решении уравнения должен содержать именно числа, а не выражения, уравнения и т. п.

  • Уравнения f(x) = g(x) и f1(x) = g1(x) называются равносильными, если любой корень первого уравнения является корнем второго уравнения и наоборот (в случае кратных корней необходимо, чтобы кратности соответствующих корней совпадали), или если оба эти уравнения не имеют решений. Проще говоря, уравнения равносильны, если они имеют одно и то же множество корней.
  • Тот факт, что уравнения f(x) = g(x) и f1(x) = g1(x) равносильны, записывается так: f(x) = g(x) $$ \Leftrightarrow $$ f1(x) = g1(x) здесь $$ \Leftrightarrow $$ - знак равносильности.
  • Возможно, что уравнение f1(x) = g1(x) может оказаться проще уравнения f(x) = g(x), а так как оно имеет те же корни, что и исходное уравнение f(x) = g(x), то его и нужно решать.

Например:

  • Уравнения x + 2 = 5 и x + 5 = 8 равносильны, так как каждое из них имеет единственный корень - число 3.
  • Равносильны и уравнения x2 +1 = 0 и 2x2 + 5 = 0 - ни одно их них не имеет корней.
  • Уравнения x - 5 = 1 и x 2 = 36 неравносильны, так как первое имеет только один корень 6, тогда как второе имеет два корня: 6 и -6.

Правила преобразования уравнений.

Правило 1. Если выражение $$\varphi (x)$$ определено при всех x, при которых определены выражения f(x) и g(x), то уравнения f(x) = g(x) и f(x) + $$\varphi (x)$$ = g(x) + $$\varphi (x)$$ равносильны. В частности, f(x) = g(x) $$ \Leftrightarrow $$ f(x) - g(x) = 0. Здесь $$\varphi (x)$$ = - g(x). То есть любое слагаемое можно переносить из одной части неравенства в другую, не нарушая равносильности.

Правило 2. Если выражение $$\varphi (x)$$ определено при всех x, при которых определены выражения f(x) и g(x), то любое решение уравнения f(x) = g(x) f(x) $$ \cdot $$ $$\varphi (x)$$ = g(x) $$ \cdot $ $ $$\varphi (x)$$.

Замечание. Естественно, уравнение f(x) $$ \cdot $$ $$\varphi (x)$$ = g(x) $$ \cdot $$ $$\varphi (x)$$ имеет больше корней, чем уравнение f(x) = g(x), например, его корнями будут ещё и корни уравнения $$\varphi (x)$$ = 0.Таким образом, умножение обеих частей уравнения на одно и то же выражение может привести к появлению посторонних корней. Если же $$\varphi (x)$$ таково, что $$\varphi (x)$$ $$ \ne $$ 0 для тех x , для которых определены функции f(x) и g(x), то f(x) = g(x) $$ \Leftrightarrow $$ f(x) $$ \cdot $$ $$\varphi (x)$$ = g(x) $$ \cdot $$ $$\varphi (x)$$. Это значит, что для сохранения равносильности умножать обе части уравнения можно лишь на отличное от нуля выражение.

Правило 3. Каждое решение уравнения f(x) = g(x) является решением уравнения (f(x))n = (g(x))n при любом натуральном n , то есть f(x) = g(x) $$ \Leftrightarrow $$ (f(x))n = (g(x))n . При этом, если n нечетного (n = 2 k + 1), то можно поставить знак равносильности: f(x) = g(x)$$ \Leftrightarrow $$ (f(x))2k + 1 = (g(x))2k + 1.Для четных n (n = 2k) справедливо только f(x) = g(x) $$ \Leftrightarrow $$ (f(x))2k = (g(x))2k .

Правило 4. Каждое решение уравнения f (x) $$ \cdot $$ g(x) = 0 является решением, по крайней мере, одного из уравнений: f(x) = 0 или g(x) = 0. Другими словами, из уравнения f(x) $$ \cdot $$ g(x) = 0 следует, что, либо f(x) = 0, либо g(x) = 0 Обратное, вообще говоря, неверно.

Из этих четырех правил следует, что с помощью стандартных приемов и методов решения уравнений, а именно:

  • преобразования (раскрытие скобок, освобождение от знаменателя, приведение подобных членов, возведение уравнения в нечетную натуральную степень и т. д.);
  • разложения на множители (формально этот прием относится к преобразованиям, но, так как он довольно часто встречается самостоятельно, мы его выделяем особо);
  • введения вспомогательных неизвестных;
  • уравнение f(x) = g(x) может быть сведено к более простому и, самое главное, равносильному уравнению f1(x) = g1(x)