Метод интервалов

Ключевые слова: неравенство, алгебраическое неравенство, метод интервалов

Рациональным неравенством называется неравенство вида P(x) > 0 или P(x) < 0, а так же $$\frac{P(x)}{Q(x)}> 0$$ или $$\frac{P(x)}{Q(x)}> 0$$,
где P(x) и Q(x) многочлены, которые можно представить в виде произведения линейных множителей.

Алгоритм метода интервалов

  1. Разложить многочлены P(x) и Q(x) на линейные множители.
    Количество множителей может быть любым, но обязательно в разностях каждого множителя x всегда является уменьшаемым и коэффициенты при переменной x должны быть положительными (канонический вид)    .
    Если количество множителей, которые надо привести к каноническому виду, не четное, то знак сравнения решаемого неравенства меняется на противоположный. Но если количество множителей, которые надо привести к каноническому виду, четное, то знак сравнения решаемого неравенства остается тем же.
  2. Найти корень каждого множителя и нанести все корни на числовую ось.
    Найти все корни - значит решить уравнения P(x) = 0 и Q(x) = 0. Отметить на числовой оси корни уравнений в порядке возрастания. Эти числа разбивают числовую ось на интервалы. На каждом из этих интервалов рациональное выражение сохраняет, а, переходя через отмеченные точки, меняет знак на противоположный.
  3. Определить знак неравенства справа от большего корня.
    Расставить знаки на интервалах, начиная от крайнего правого. Так как все множители имеют канонический вид, то над правым интервалом всегда ставится знак «+» и далее знаки чередуются.
  4. Проставить знаки в остальных интервалах, учитывая чентое или нечетное число раз встречается каждый корень.
    Если корень выражения имеет четную степень (например: (x - 5)2 = 0 $$\Rightarrow$$ x = 5 - корень второй степни), то около этого корня выражение не меняет знака.
    Если корень выражения имеет нечетную степень (например: (x - 5)3 = 0 $$\Rightarrow$$ x = 5 - корень третей степни), то переходя через этот кореньвыражение меняет знак.
  5. Выписать ответы неравенства в виде интервалов.
    Для неравенства вида     P(x) > 0 (P(x) $$\ge$$ 0) или $$\frac{P(x)}{Q(x)}> 0$$ ($$\frac{P(x)}{Q(x)}\ge 0$$) ответом считается, объединение интервалов, на которых функция сохраняет знак "+".
    6. Для неравенства вида P(x) < 0 (P(x) $$\le$$ 0) или $$\frac{P(x)}{Q(x)}< 0$$ ($$\frac{P(x)}{Q(x)}\le 0$$) ответом считается, объединение интервалов, на которых функция сохраняет знак "-".

Рассмотрим два примера:
См. также:
Неравенства