Формулы обратных тригонометрических функций

Ключевые слова: тригонометрия, арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс

Для любого числа t определены тригонометрические функции sint; cost; tgt; ctgt.
Определим обратные функции к названным тригонометрическим функциям.
Заметим, что при /m/ $$\le$$ 1 одна и только одна из точек пересечения координатной окружности с прямой y = m принадлежит правой полуокружности (1-я и 4-я четверти).

    Арккосинусом числа m (arccos m), $$\left| m \right| \le 1$$, называют угол $$\alpha$$ из промежутка $$\left[ {0;\pi } \right]$$, синус которого равен числу m.

  • $$cos(arccos m) = m$$, $$\left| m \right| \le 1$$;
  • $$arccos(cos \alpha) = \alpha$$, $$\alpha \in \left[ {0;\pi } \right]$$.

    Арксинусом числа m (arcsin m), $$\left| m \right| \le 1$$, называют угол $$\alpha$$ из промежутка$$\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]$$, косинус которого равен числу m.

  • $$sin(arcsin m)= m$$, $$\left| m \right| \le 1$$;
  • $$arcsin(sin \alpha) = \alpha$$, $$\alpha \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]$$.

    Арккотангенсом числа m (arcctg m), $$m \in R$$, называют угол $$\alpha$$ из промежутка $$\left( {0;\pi } \right)$$, котангес которого равен числу m.

  • $$ctg(arcctg m) = m$$, $$m \in R$$;
  • $$arcctg(ctg \alpha) = \alpha$$, $$\alpha \in \left( {0;\pi } \right)$$.

    Арктангенсом числа m (arcsin m), $$m \in R$$, называют угол $$\alpha$$ из промежутка $$\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)$$, тангенс которого равен числу m.

  • $$tg(arctg m) = m$$, $$m \in R$$;
  • $$arctg(tg \alpha)= \alpha$$, $$\alpha \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)$$.

Соотношения обратных тригонометрических функций

  • $$arcsin m +arccos m = \frac{\pi}{2}$$, $$\left| m \right| \le 1$$
  • $$arctg m +arcctg m = \frac{\pi}{2}$$, $$m \in R$$

Свойства обратных тригонометрических функций

  • функция arcsin m нечетная , поэтому arcsin (-m) = - arcsin m;
  • функция arccos m ни четная, ни нечетная , поэтому $$arccos(-m) = \pi - arccos m$$;
  • функция arctg m нечетная, поэтому arctg (-m) = - arctg m;
  • функция arcctg m ни четная, ни нечетная , поэтому $$arcctg(-m) = \pi - arcctg m$$
 


См. также:
Значения обратных тригонометрических функций, Обратные тригонометрические функции

2017-01-14 11:11:43