Решение логарифмических уравнений: теоретический справочник

Решение логарифмических уравнений основывается на теореме: $$f(g_1 (x)) = f(g_2 (x)) \Leftrightarrow g_1 (x) = g_2 (x)$$ на множестве E, если для любого $$x \in E$$ функция f монотонна на множестве $$g_1 (E) \cup g_2 (E)$$.

Способы решения логарифмических уравнений

1. Простейшее уравнение $$\log _a x = b,\quad a > 0,\quad a \ne 1,\quad b \in R$$ имеет решение $$x = a^b $$.

2. Уравнения вида $$f(\log _a x) = 0,\quad a > 0,\quad a \ne 1$$ заменой $$t = \log _a x$$ сводят к уравнению $$f(t) = 0$$, а затем решают совокупность простейших уравнений $$\log _a x = t_i $$.

3. Уравнения вида $$\log _a f(x) = \log _a g(x),\quad a > 0,\quad a \ne 1$$ равносильно системе $$\left\{ \begin{array}{l} f(x) = g(x), \\ \left[ \begin{array}{l} f(x) > 0, \\ g(x) > 0. \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right.$$

4. Уравнения вида $$\log _{g(x)} f(x) = b$$ равносильно системе $$\left\{ \begin{array}{l} f(x) = g^b (x); \\ g(x) > 0,\;f(x) > 0; \\ g(x) \ne 1. \\ \end{array} \right.$$

5. Уравнения вида $$\log _{g(x)} f(x) = \log _{g(x)} h(x)$$ равносильно системе $$\left\{ \begin{array}{l} f(x) = h(x); \\ g(x) > 0,\;g(x) \ne 1; \\ f(x) > 0,\;h(x) > 0. \\ \end{array} \right.$$

2017-01-14 17:53:48