Показательные уравнения: примеры и достаточные знания свойств, необходимые для решения заданий

Задания
Достаточные знания свойств
Формулы
$$\quad $$ $$\left( {\frac{{16}}{9}} \right)^x = \left( {\frac{3}{4}} \right)^6 \Leftrightarrow \left( {\frac{4}{3}} \right)^{2x} = \left( {\frac{4}{3}} \right)^{ - 6} $$ Свойства степени с отрицательным целым показателем $$\left( {\frac{a}{b}} \right)^{ - n} $$ $$\quad $$ $$\begin{array}{l} \left( {\frac{a}{b}} \right)^{ - n} = \left( {\frac{b}{a}} \right)^n , \\ a \ne 0,\quad b \ne 0,\quad n \in Z \\ \end{array}$$
$$\quad $$ $$\left( {0,04} \right)^{2 - x} = 25^{ - 1} \Leftrightarrow \left( {\frac{1}{{25}}} \right)^{2 - x} = \frac{1}{{25}} \Leftrightarrow 2 - x = 1$$ Свойство равносильности показательных уравнений $$a^{f(x)} = a^{g(x)} $$ $$\quad $$ $$\begin{array}{l} a^{f(x)} = a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x) = g(x), \\ a > 0,\quad a \ne 1 \\ \end{array}$$
$$\quad $$ $$7^x \cdot \left( {\frac{3}{7}} \right)^x = \frac{1}{{81}} \Leftrightarrow \left( {7 \cdot \frac{3}{7}} \right)^x = \frac{1}{{81}} \Leftrightarrow 3^x = 3^{ - 4} $$ Свойство произведения степеней $$a^n \cdot b^n $$ $$\quad $$ $$a^n \cdot b^n = \left( {a \cdot b} \right)^n $$
$$\quad $$ $$\frac{{5^{x^2 - 3} }}{{0,5^{x^2 - 3} }} = 0,001 \Leftrightarrow \left( {\frac{5}{{0,5}}} \right)^{^{x^2 - 3} } = 0,001$$ Свойство частного степеней $$\frac{{a^n }}{{b^n }}$$ $$\quad $$ $$\frac{{a^n }}{{b^n }} = \left( {\frac{a}{b}} \right)^n $$

Пример. Решите уравнение $$2^{2x + 1} - 7 \cdot 10^x + 5^{2x + 1} = 0$$

Решение: $$2^{2x + 1} - 7 \cdot 10^x + 5^{2x + 1} = 0$$ $$ \Leftrightarrow $$ $$2^{2x} \cdot 2 - 7 \cdot \left( {2 \cdot 5} \right)^x + 5^{2x} \cdot 5 = 0$$$$ \Leftrightarrow $$ $$2 \cdot \left( {2^x } \right)^2 - 7 \cdot \left( {2 \cdot 5} \right)^x + 5 \cdot \left( {5^x } \right)^2 = 0$$ Т.к $$5^x \ne 0$$, то можно разделить на $$\left( {5^x } \right)^2 \ne 0$$ обе части уравнения $$2 \cdot \left( {2^x } \right)^2 - 7 \cdot \left( {2 \cdot 5} \right)^x + 5 \cdot \left( {5^x } \right)^2 = 0$$, получим $$\frac{{2 \cdot \left( {2^x } \right)^2 }}{{\left( {5^x } \right)^2 }} - \frac{{7 \cdot \left( {2 \cdot 5} \right)^x }}{{\left( {5^x } \right)^2 }} + \frac{{5 \cdot \left( {5^x } \right)^2 }}{{\left( {5^x } \right)^2 }} = 0$$$$ \Leftrightarrow $$ $$2 \cdot \left( {\frac{{2^x }}{{5^x }}} \right)^2 - 7 \cdot \frac{{2^x }}{{5^x }} + 5 = 0$$. Пусть $$y = \left( {\frac{2}{5}} \right)^x $$, тогда получим систему $$\left\{ \begin{array}{l} y = \left( {\frac{2}{5}} \right)^x ,y > 0; \\ 2y^2 - 7y + 5 = 0. \\ \end{array} \right.$$. Решая уравнение $$2y^2 - 7y + 5 = 0$$ получим корни $$y_1 = 1,\quad y_1 = 2,5$$. Вернемся к замене и решим систему $$\left\{ \begin{array}{l} \left( {\frac{2}{5}} \right)^x = 1, \\ \left( {\frac{2}{5}} \right)^x = \frac{5}{2}. \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x_1 = 0, \\ x_2 = - 1. \\ \end{array} \right.$$

Ответ: $$x_1 = 0,\quad x_2 = - 1$$

Для решения используем последовательно знания следующих свойств:

  • Свойство произведения степеней с одинаковыми основаниями: $$a^{m + n} = a^m \cdot a^n $$.
  • Свойство степени, основанием которой является степень: $$a^{m \cdot n} = \left( {a^m } \right)^n = \left( {a^n } \right)^m ,\;a > 0$$.
  • Свойство степени произведения положительных чисел: $$\left( {a \cdot b} \right)^n = a^n \cdot b^n ,\quad a > 0,\quad b > 0$$.
  • Свойство равносильности уравнений: $$f(x) = g(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{{f(x)}}{m} = \frac{{g(x)}}{m}, \\ m \ne 0. \\ \end{array} \right.$$
  • Свойство частного степеней с одинаковыми показателями степени: $$\frac{{a^n }}{{b^n }} = \left( {\frac{a}{b}} \right)^n ,\quad a > 0,\;\quad b > 0$$
  • Основное свойство дроби: $$\frac{a}{b} = \frac{{a:m}}{{b:m}} = \frac{{a \cdot k}}{{b \cdot k}},\quad m,\;\quad k \ne 0$$.
  • Свойство степени с нулевым показателем: $$a^0 = 1,\quad a \ne 0$$.
  • Свойство степени с отрицательным показателем:$$\left( {\frac{a}{b}} \right)^{ - n} = \left( {\frac{b}{a}} \right)^n ,\quad n \in Z$$ .
2017-08-07 18:58:23