Равносильность уравнений

Ключевые слова: уравнение с одной переменной, равносильность уравнений, знак равносильности, правила преобразования

Уравнением с одной переменной x называется выражение f(x) = g(x), содержащее переменную величину x и знак равенства.

Число a называется корнем (или решением) уравнения f(x) = g(x), если при подстановке этого числа в уравнение получается верное числовое равенство.

Замечание. Важно понимать, что решение – это число, например, 15 или $$\sqrt{2}$$, поэтому ответ при решении уравнения должен содержать именно числа, а не выражения, уравнения и т. п. Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Уравнения f(x) = g(x) и f1(x) = g1(x) называются равносильными , если любой корень первого уравнения является корнем второго уравнения и наоборот, или если оба эти уравнения не имеют решений.

Проще говоря, уравнения равносильны, если они имеют одно и то же множество корней.

Тот факт, что уравнения f(x) = g(x) и f1(x) = g1(x) равносильны, записывается так: f(x) = g(x) $$\Leftrightarrow$$ f1(x) = g1(x) здесь $$\Leftrightarrow$$ – знак равносильности.

Ясно, что уравнение f1(x) = g1(x) может оказаться проще уравнения f(x) = g(x), а так как оно имеет те же корни, что и исходное уравнение f(x) = g(x), то его и нужно решать.

Правила преобразования уравнений.

Правило 1. Если выражение p(x) определено при всех x , при которых определены выражения f(x) и g(x), то уравнения f(x) = g(x) и f(x) + p(x) = g(x) + p(x) равносильны.

В частности, f(x) = g(x) $$\Leftrightarrow$$ f(x) - g(x) = 0. Здесь p(x) = – g(x). То есть любое слагаемое можно переносить из одной части неравенства в другую, не нарушая равносильности.

Правило 2. Если выражение p(x) определено при всех x , при которых определены выражения f(x) и g(x), то любое решение уравнения f(x) = g(x) будет и решением урвнения f(x) · p(x) = g(x) · p(x).

Значит, что $$f(x)= g(x)\Leftrightarrow f(x) \cdot \phi(x) = g(x) \cdot \phi(x)$$ является решением уравнения

Замечание. Естественно, уравнение f(x) · p(x) = g(x) · p(x) имеет больше корней, чем уравнение f(x) = g(x), например, его корнями будут ещё и корни уравнения p(x) = 0.Таким образом, умножение обеих частей уравнения на одно и то же выражение может привести к появлению посторонних корней.Если же p(x) таково, что p(x) $$\ne$$ 0 для тех x , для которых определены функции f(x) и g(x), то $$f(x)= g(x)\Leftrightarrow f(x) \cdot \phi(x) = g(x) \cdot \phi(x)$$. Это значит, что для сохранения равносильности умножать обе части уравнения можно лишь на отличное от нуля выражение.

Правило 3. Каждое решение уравнения f(x) = g(x) является решением уравнения (f(x)) n = (g(x)) n при любом натуральном n , то есть f(x) = g(x) $$\Rightarrow$$(f(x)) n = (g(x)) n .

При этом, если n нечетного (n = 2 k + 1), то можно поставить знак равносильности: f(x) = g(x) $$\Leftrightarrow$$ (f(x)) 2k +1 = (g(x)) 2k + 1 .
Для четных n (n = 2k) справедливо только f(x) = g(x) $$\Rightarrow$$(f(x)) 2k = (g(x))2k .

Правило 4. Каждое решение уравнения f (x) · g(x) = 0 является решением, по крайней мере, одного из уравнений: f(x) = 0 или g(x) = 0.

Другими словами, из уравнения f(x) · g(x) = 0 следует, что либо f(x) = 0 , либо g(x) = 0: $$f(x) \cdot g(x) = 0 \Rightarrow
\left[ \begin{array}{} f(x)=0 \\ g(x)=0 \end{array} \right.$$
Обратное, вообще говоря, неверно.

Из этих четырех правил следует, что с помощью стандартных приемов и методов решения уравнений, а именно:

  • преобразования (раскрытие скобок, освобождение от знаменателя, приведение подобных членов, возведение уравнения в нечетную натуральную степень и т. д.);
  • разложения на множители (формально этот прием относится к преобразованиям, но, так как он довольно часто встречается самостоятельно, мы его выделяем особо);
  • введения вспомогательных неизвестных;
  • уравнение f (x) = g(x) может быть сведено к более простому и, самое главное, равносильному уравнению f1 (x) = g1(x).
2017-01-14 08:54:08