Алгебраические уравнения

Ключевые слова: уравнение, алгебраическое уравнение, корень уравнения, линейное уравнение, квадратное уравнение, возвратное уравнение

Типы уравнений

  • Алгебраические уравнения. Уравнения вида fn(x) = 0, где fn(x) – многочлен одной переменной, называются алгебраическими уравнениями.
    Многочленом называется выражение вида fn(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 = 0
  • Трансцендентные уравнения. Уравнения, содержащие трансцендентные функции, такие, как логарифмическая, показательная или тригонометрическая функция, называются трансцендентными.
  • Дифференциальные уравнения. Так называются уравнения, содержащие одну или несколько функций и их производные или дифференциалы.

    Дифференциальные уравнения оказались исключительно ценным средством точной формулировки законов природы.

  • Интегральные уравнения. Уравнения, содержащие неизвестную функцию под знаком интеграла.
  • Диофантовы уравнения. Диофантовым уравнением называется алгебраическое уравнение с двумя или более неизвестными с целыми коэффициентами, решение которого ищется в целых или рациональных числах.

    Например, уравнение 3x – 5y = 1 имеет решение x = 7, y = 4; вообще же его решениями служат целые числа вида x = 7 + 5n, y = 4 + 3n.

Алгебраические уравнения

Линейное уравнение. ax + b = 0
$$(a \ne 0)\Rightarrow x = -\frac{b}{a}$$.

Квадратное уравнение. ax2 + bx+ c = 0
$$(a \ne 0)\Rightarrow x_{1}= \frac{-b -\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, x_{2}= \frac{-b +\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$$
или по теореме Виета $$x_{1}+ x_{2}= -\frac{b}{a}, x_{1} \cdot x_{2}= \frac{c}{a}$$.

Кубическое уравнение. ax3 + bx2+ cx+ d = 0
$$(a \ne 0) \Rightarrow x_{k}=y_{k}-\frac{b}{3a}, k =1, 2, 3$$, где yk является корнем приведенного кубического уравнения y3 + py + q = 0,
в котором коэффициенты p и q связаны с коэффициентами основного кубического уравнения a, b, c и d соотношениями
$$p = - \frac{1}{3}(\frac{b}{a})^{2}+\frac{c}{a}$$ и $$q = \frac{2}{27}(\frac{b}{a})^{3}-\frac{bc}{3a^{3}} + \frac{d}{a}$$.
Можно решить кубическое уравнение и по теореме Виета $$x_{1}+x_{2}+x_{3}= -\frac{b}{a},\quad x_{1} \cdot x_{2}+x_{1} \cdot x_{3}+x_{2} \cdot x_{3}$$ $$ x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3}=-\frac{d}{a}$$.

Биквадратное уравнение. ax4 + bx2+ c = 0 $$(a \ne 0)$$
Заменой y = x2 приведем к уравнению ay2 + by+ c = 0 $$\Rightarrow x_{1},_{2}= \pm \sqrt{\frac{-b -\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}}\quad$$
$$ x_{3},_{4}= \pm \sqrt{\frac{-b +\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}}$$.

Возвратное (алгебраическое) уравнение. ax4 + bx3+ cx2 + bx + a = 0 $$(a \ne 0)$$
Заменой $$y = x + \frac{1}{x}$$ приведем к уравнению ay2 + by+ c - 2a = 0

Уравнение четвертой степени общего вида. ax4 + bx3+ cx2+ dx + e = 0 $$(a \ne 0)$$

Двучленное алгебраическое уравнение n-й степени. xn - a = 0 $$\Rightarrow x = \root n \of {a}$$.

Степенное алгебраическое уравнение. ax2n + bxn+ c = 0 $$(a \ne 0)$$
Заменой y = xn приведем к уравнению ay2 + by+ c = 0.

Алгебраическое уравнение n-й степени общего вида. anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 = 0 $$(a \ne 0)$$.
Можно решить по обобщенной теореме Виета $$x_{1}+x_{2}+x_{3}+...+ x_{n}= - \frac{a_{n-1}}{a_{n}}$$; $$\quad$$
$$x_{1} \cdot x_{2} + x_{1} \cdot x_{3} +...+ x_{n-1} \cdot x_{n} =\frac{a_{n-2}}{a_{n}}$$; $$\quad$$ $$x_{1} \cdot x_{2}\cdot x_{3} + x_{1} \cdot x_{2}\cdot x_{4} +...+ x_{n-2} \cdot x_{n-1}\cdot x_{n} = - \frac{a_{n-3}}{a_{n}}$$ и так далее и наконец $$x_{1} \cdot x_{2}\cdot x_{3}\cdot... \cdot x_{n} = (-1)^{n}\frac{a_{0}}{a_{n}}$$.
Рациональные уравнения являются более сложные алгебраические уравнения.

Функция f (x) называется рациональной ( дробно-рациональной), если она представима в виде отношения двух многочленов: $$f(x) = \frac{P_{n}(x)}{Q_{m}(x)}$$ (степени n и m многочленов могут быть произвольными).

Уравнение f (x) = g (x) называется дробно-рациональным , если f (x) и g(x) являются дробно-рациональными функциями.

Алгоритм решения дробно-рациональных уравнений:
  1. Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение.
  2. Заменить данное уравнение уравнением с целыми коэффициентами, умножив его на общий знаменатель.
  3. Попытаться решить полученное уравнение с целыми коэффициентами.
  4. Исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.
  5. Записать ответ.


    См. также:
    Равносильные уравнения, Линейное уравнение, Квадратное уравнение, Линейная функция