Рассмотрим наиболее часто встречающиеся схемы замен функций (для удобства примем обозначения функций $$
f\left( x \right) = f$$ и $$g\left( x \right) = g$$ ).
- $$
\left| f \right| \leftrightarrow f^2
$$
- $$
\left| f \right| - \left| g \right| \leftrightarrow f^2 - g^2
$$
- $$
ax^2 + bx + c \leftrightarrow a$$,если $$
D = b^2 - 4ac < 0$$
- $$
\sqrt f - \sqrt g \; \leftrightarrow f - g$$, ОДЗ: $$
\left\{ \begin{array}{l}
f \ge 0; \\
g \ge 0. \\
\end{array} \right.$$
- $$
\left| f \right| - \sqrt g \; \leftrightarrow f^2 - g^2$$, ОДЗ: $$
g \ge 0$$
- $$
\left| x \right| - \left( {ax^2 + bx + c} \right) \leftrightarrow x^2 - \left( {ax^2 + bx + c} \right)^2$$, если $$D = b^2 - 4ac < 0$$
- $$
a^f - a^g \leftrightarrow \left( {f - g} \right)\left( {a - 1} \right)$$, ОДЗ: $$
a > 0$$
- $$
a^f - 1 \leftrightarrow f \cdot \left( {a - 1} \right)$$, ОДЗ: $$
a > 0$$
- $$
f - g \leftrightarrow f^2 - g^2
$$, ОДЗ: $$
\left\{ \begin{array}{l}
f \ge 0; \\
g \ge 0. \\
\end{array} \right.$$
- $$
\log _a f \leftrightarrow \left( {f - 1} \right)\left( {a - 1} \right)$$, ОДЗ: $$
\left\{ \begin{array}{l}
f > 0; \\
a > 0{\rm{ }}{\rm{, }}a \ne 1. \\
\end{array} \right.$$
- $$
\log _a f - g \leftrightarrow \left( {f - a^g } \right)\left( {a - 1} \right)$$, ОДЗ: $$
\left\{ \begin{array}{l}
f > 0; \\
a > 0{\rm{ }}{\rm{, }}a \ne 1. \\
\end{array} \right.$$
- $$
\log _a f - \log _a g \leftrightarrow \left( {f - g} \right)\left( {a - 1} \right)$$, ОДЗ: $$
\left\{ \begin{array}{l}
f > 0; \\
g > 0; \\
a > 0{\rm{ }}{\rm{, }}a \ne 1. \\
\end{array} \right.$$
- $$
a^f - b \leftrightarrow \left( {f - \log _a b} \right)\left( {a - 1} \right)$$, ОДЗ: $$b > 0$$
- $$
\log _a f + \log _a g \leftrightarrow \left( {f \cdot g - 1} \right)\left( {a - 1} \right)$$, ОДЗ: $$
\left\{ \begin{array}{l}
f > 0; \\
g > 0; \\
a > 0{\rm{ }}{\rm{, }}a \ne 1. \\
\end{array} \right.$$