Рассмотрим наиболее часто встречающиеся схемы замен функций (для удобства примем обозначения функций $$ f\left( x \right) = f$$ и $$g\left( x \right) = g$$ ).

1. $$ \left| f \right| \leftrightarrow f^2 $$
2. $$ \left| f \right| - \left| g \right| \leftrightarrow f^2 - g^2 $$
3. $$ ax^2 + bx + c \leftrightarrow a$$,если $$ D = b^2 - 4ac < 0$$
4. $$ \sqrt f - \sqrt g \; \leftrightarrow f - g$$, ОДЗ: $$ \left\{ \begin{array}{l} f \ge 0; \\ g \ge 0. \\ \end{array} \right.$$
5. $$ \left| f \right| - \sqrt g \; \leftrightarrow f^2 - g^2$$, ОДЗ: $$ g \ge 0$$
6. $$ \left| x \right| - \left( {ax^2 + bx + c} \right) \leftrightarrow x^2 - \left( {ax^2 + bx + c} \right)^2$$, если $$D = b^2 - 4ac < 0$$
7. $$ a^f - a^g \leftrightarrow \left( {f - g} \right)\left( {a - 1} \right)$$, ОДЗ: $$ a > 0$$
8. $$ a^f - 1 \leftrightarrow f \cdot \left( {a - 1} \right)$$, ОДЗ: $$ a > 0$$
9. $$ f - g \leftrightarrow f^2 - g^2 $$, ОДЗ: $$ \left\{ \begin{array}{l} f \ge 0; \\ g \ge 0. \\ \end{array} \right.$$
10. $$ \log _a f \leftrightarrow \left( {f - 1} \right)\left( {a - 1} \right)$$, ОДЗ: $$ \left\{ \begin{array}{l} f > 0; \\ a > 0{\rm{ }}{\rm{, }}a \ne 1. \\ \end{array} \right.$$
11. $$ \log _a f - g \leftrightarrow \left( {f - a^g } \right)\left( {a - 1} \right)$$, ОДЗ: $$ \left\{ \begin{array}{l} f > 0; \\ a > 0{\rm{ }}{\rm{, }}a \ne 1. \\ \end{array} \right.$$
12. $$ \log _a f - \log _a g \leftrightarrow \left( {f - g} \right)\left( {a - 1} \right)$$, ОДЗ: $$ \left\{ \begin{array}{l} f > 0; \\ g > 0; \\ a > 0{\rm{ }}{\rm{, }}a \ne 1. \\ \end{array} \right.$$
13. $$ a^f - b \leftrightarrow \left( {f - \log _a b} \right)\left( {a - 1} \right)$$, ОДЗ: $$b > 0$$
14. $$ \log _a f + \log _a g \leftrightarrow \left( {f \cdot g - 1} \right)\left( {a - 1} \right)$$, ОДЗ: $$ \left\{ \begin{array}{l} f > 0; \\ g > 0; \\ a > 0{\rm{ }}{\rm{, }}a \ne 1. \\ \end{array} \right.$$