Логарифмические неравенства: примеры и достаточные знания, необходимые для решения заданий

Задания
Достаточные знания
Формулы
$$\quad $$ $$\log _5 \left( {\sqrt x + 1} \right) > 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5 > 1, \\ \sqrt x + 1 > 5. \\ \end{array} \right.$$ Свойство равносильности логарифмических неравенств $$ \log _a f(x) > b$$ $$\quad $$ $$\log _a f(x) > b \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a > 1, \\ f(x) > a^b . \\ \end{array} \right.$$
$$\quad $$ $$\log _3 \left( {x + 2} \right) < 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3 > 1, \\ x + 2 > 0, \\ x + 2 < 9. \\ \end{array} \right.$$ Свойство равносильности логарифмических неравенств $$\log _a f(x) < b$$ $$\quad $$ $$\log _a f(x) < b \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a > 1, \\ f(x) > 0, \\ f(x) < a^b . \\ \end{array} \right.$$
$$\quad $$ $$\log _{\frac{1}{3}} \left( {x - 3} \right) > - 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0 < \frac{1}{3} < 1, \\ x - 3 > 0, \\ x - 3 < 9. \\ \end{array} \right.$$ Свойство равносильности логарифмических неравенств $$\log _a f(x) > b$$ $$\quad $$ $$\log _a f(x) > b \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0 < a < 1, \\ f(x) > 0, \\ f(x) < a^b . \\ \end{array} \right.$$
$$\quad $$ $$\log _{0,5} \left( {2x + 1} \right) \le 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0 < 0,5 < 1, \\ 2x + 1 \ge 1. \\ \end{array} \right.$$ Свойство равносильности логарифмических неравенств $$\log _a f(x) < b$$ $$\quad $$ $$\log _a f(x) < b \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0 < a < 1, \\ f(x) > a^b . \\ \end{array} \right.$$
$$\quad $$ $$ \log _{0,1} \left( {2x^2 - 3x} \right) < \log _{0,1} \left( {6x + 7} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0 < 0,1 < 1, \\ 2x^2 - 3x > 6x + 7, \\ 6x + 2 > 0. \\ \end{array} \right. $$ Свойство равносильности логарифмических неравенств $$\log _a f(x) < \log _a g(x)$$ $$\quad $$ $$\log _a f(x) < \log _a g(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f(x) > g(x),\;0 < a < 1, \\ \left[ \begin{array}{l} f(x) > 0, \\ g(x) > 0. \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right.$$
$$\quad $$ $$\lg \left( { - 2x^2 + 5x} \right) < \lg \left( {6x^2 + 7} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 10 > 1, \\ - 2x^2 + 5x < 6x^2 + 7, \\ 6x^2 + 7 > 0. \\ \end{array} \right.$$ Свойство равносильности логарифмических неравенств $$\log _a f(x) < \log _a g(x)$$ $$\quad $$ $$ og_a f(x) < \log _a g(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f(x) < g(x),\;a > 1, \\ \left[ \begin{array}{l} f(x) > 0, \\ g(x) > 0. \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right. $$

Пример. Решите неравенство $$\log _{\frac{1}{{\sqrt 5 }}} \log _4 \left( {x - 2} \right) > 0$$

Решение: $$\log _{\frac{1}{{\sqrt 5 }}} \log _4 \left( {x - 2} \right) > 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0 < \frac{1}{{\sqrt 5 }} < 1, \\ \log _4 \left( {x - 2} \right) > 0, \\ \log _4 \left( {x - 2} \right) < 1. \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x - 2 > 0, \\ x - 2 > 1, \\ x - 2 < 4. \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 3, \\ x < 6. \\ \end{array} \right.$$

Ответ: $$x \in \left( {3;6} \right)$$

Для решения используем последовательно знания следующих свойств:

  • Свойство логарифма числа: $$\log _a b = c \Leftrightarrow b = a^c ,\quad a > 0,\quad \;a \ne 1,\quad \;b > 0$$
  • Свойство степени с нулевым показателем: $$a^0 = 1,\quad a \ne 0$$
  • Свойство равносильности логарифмических неравенств: $$\log _a f(x) > b \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0 < a < 1, \\ f(x) > 0, \\ f(x) < a^b . \\ \end{array} \right.$$
  • Свойство равносильности логарифмических неравенств: $$\log _a f(x) > b \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a > 1, \\ f(x) > a^b . \\ \end{array} \right.$$
  • Свойство равносильности логарифмических неравенств: $$\log _a f(x) < b \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a > 1, \\ f(x) > 0, \\ f(x) < a^b . \\ \end{array} \right.$$
2017-08-07 19:32:45