Показательные неравенства: примеры и достаточные знания, необходимые для решения заданий

Задания
Достаточные знания
Формулы
$$\quad $$ $$\left( {\sqrt 7 } \right)^{x - 1} \ge \frac{1}{{49^x }} \Leftrightarrow 7^{\frac{{x - 1}}{2}} \ge 7^{ - 2x} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 7 > 1, \\ \frac{{x - 1}}{2} \ge - 2x. \\ \end{array} \right.$$ Свойство равносильности показательных неравенств $$a^{f(x)} > a^{g(x)} $$ $$\quad $$ $$a^{f(x)} > a^{g(x)} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a > 1, \\ f(x) > g(x). \\ \end{array} \right.$$
$$\quad $$ $$\left( {\frac{1}{5}} \right)^{0,5x - 1} \ge \left( {\frac{1}{{125}}} \right)^{x^2 } \Leftrightarrow \left( {\frac{1}{5}} \right)^{0,5x - 1} \ge \left( {\frac{1}{5}} \right)^{3x^2 } \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0 < \frac{1}{5} < 1, \\ 0,5x - 1 \le 3x^2 . \\ \end{array} \right.$$ Свойство равносильности показательных неравенств $$a^{f(x)} > a^{g(x)} $$ $$\quad $$ $$a^{f(x)} > a^{g(x)} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0 < a < 1, \\ f(x) < g(x). \\ \end{array} \right.$$
$$\quad $$ $$2^{3 - 6x} < 2^{\left| x \right|} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2 > 1, \\ 3 - 6x < \left| x \right|. \\ \end{array} \right.$$ Свойство равносильности показательных неравенств $$a^{f(x)} < a^{g(x)} $$ $$\quad $$ $$a^{f(x)} < a^{g(x)} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a > 1, \\ f(x) < g(x). \\ \end{array} \right.$$
$$\quad $$ $$0,4^{2x - 1} \le 0,16^{3x + 2} \Leftrightarrow 0,4^{2x - 1} \le 0,4^{6x + 4} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0 < 0,4 < 1, \\ 2x - 1 \ge 6x + 4. \\ \end{array} \right.$$ Свойство равносильности показательных неравенств $$a^{f(x)} < a^{g(x)} $$ $$\quad $$ $$a^{f(x)} < a^{g(x)} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0 < a < 1, \\ f(x) > g(x). \\ \end{array} \right.$$

Пример. Решите неравенство $$2^{2x + 1} - 7 \cdot 10^x + 5^{2x + 1} \le 0$$

Решение: $$2^{2x + 1} - 7 \cdot 10^x + 5^{2x + 1} \le 0 \Leftrightarrow $$ $$2^{2x} \cdot 2 - 7 \cdot \left( {2 \cdot 5} \right)^x + 5^{2x} \cdot 5 \le 0 \Leftrightarrow $$ т.к $$5^x > 0$$, то можно разделить на $$\left( {5^x } \right)^2 > 0$$ обе части неравенства $$2 \cdot \left( {2^x } \right)^2 - 7 \cdot \left( {2 \cdot 5} \right)^x + 5 \cdot \left( {5^x } \right)^2 \le 0$$, получим $$\frac{{2 \cdot \left( {2^x } \right)^2 }}{{\left( {5^x } \right)^2 }} - \frac{{7 \cdot \left( {2 \cdot 5} \right)^x }}{{\left( {5^x } \right)^2 }} + \frac{{5 \cdot \left( {5^x } \right)^2 }}{{\left( {5^x } \right)^2 }} \le 0 \Leftrightarrow $$ $$2 \cdot \left( {\frac{{2^x }}{{5^x }}} \right)^2 - 7 \cdot \frac{{2^x }}{{5^x }} + 5 \le 0$$. Пусть $$y = \left( {\frac{2}{5}} \right)^x $$, тогда получим систему $$\begin{array}{l} \left( {\frac{2}{5}} \right)^x , \\ y > 0,\quad 2y^2 - 7y + 5 \le 0 \\ \end{array}$$. Решая уравнение $$2y^2 - 7y + 5 = 0$$ получим корни $$y_1 = 1,\quad y_1 = \frac{5}{2}$$. Решением системы будет $$1 \le y \le \frac{5}{2}$$. Вернемся к замене $$1 \le \left( {\frac{2}{5}} \right)^x \le \frac{5}{2}$$ и решим систему $$\left\{ \begin{array}{l} \left( {\frac{2}{5}} \right)^x \ge 1, \\ \left( {\frac{2}{5}} \right)^x \le \frac{5}{2}. \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0 < \frac{2}{5} < 1, \\ x \le 0, \\ x \ge - 1. \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow x \in \left[ { - 1;0} \right]$$

Ответ: $$x \in \left[ { - 1;0} \right]$$

Для решения используем последовательно знания следующих свойств:

  • Свойство произведения степеней с одинаковыми основаниями: $$a^{m + n} = a^m \cdot a^n $$
  • Свойство степени, основанием которой является степень: $$a^{m \cdot n} = \left( {a^m } \right)^n = \left( {a^n } \right)^m ,\;a > 0$$
  • Свойство степени произведения положительных чисел: $$\left( {a \cdot b} \right)^n = a^n \cdot b^n ,\quad a > 0,b > 0$$
  • Свойство равносильности неравенств: $$f(x) \le g(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{{f(x)}}{m} \le \frac{{g(x)}}{m}, \\ m > 0. \\ \end{array} \right.$$
  • Свойство частного степеней с одинаковыми показателями степени: $$\frac{{a^n }}{{b^n }} = \left( {\frac{a}{b}} \right)^n ,\quad a > 0,\;b > 0$$
  • Основное свойство дроби: $$\frac{a}{b} = \frac{{a:m}}{{b:m}} = \frac{{a \cdot k}}{{b \cdot k}},\quad m,\;k \ne 0$$
  • Свойство степени с нулевым показателем: $$a^0 = 1,\quad a \ne 0$$
  • Свойство степени с отрицательным показателем: $$\left( {\frac{a}{b}} \right)^{ - n} = \left( {\frac{b}{a}} \right)^n ,\quad n \in Z$$
  • Свойство равносильности показательных неравенств: $$a^{f(x)} > a^{g(x)} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0 < a < 1, \\ f(x) < g(x). \\ \end{array} \right.$$
  • Свойство равносильности показательных неравенств: $$a^{f(x)} < a^{g(x)} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0 < a < 1, \\ f(x) > g(x). \\ \end{array} \right.$$
2017-01-14 17:35:45