Производная

Ключевые слова: функция, производная, правила нахождения производной, сложная функция

Производная — основное понятие дифференциального исчесления, характеризующее скорость изменения функции.

Производная - это предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует.

Функцию, имеющую конечную производную, называют дифференцируемой.
Процесс вычисления производной называется дифференцированием.

Основные правила дифференцирования:

  • Если функция константа, т.е. y = C, где C - число, то $$(С)' = 0$$.
  • Если функции u и v дифференцируемы в точке x, то $$(v + u)' = v' + u'$$.
  • Если функция Cu , где C - постоянная, дифференцируема в точке x, то $$(Сu)' = Сu'$$.
  • Если функции u и v дифференцируемы в точке x, то $$(u \cdot v)'= u' \cdot v + u \cdot v' $$.
  • Если функции u и v дифференцируемы в точке x и $$v(x)\ne 0$$, то $$(\frac{u}{v})' = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^{2}}$$.

Дифференцирование сложной функции.

Рассмотрим функцию y = sin x2.
Чтобы найти значение этой функции в фиксированнной точке x нужно: 1) вычислить x2; 2) найти значение синуса от полученного значения x2.
Иными словами, сначала надо найти значение g(x) = x2, а потом найти sin g(x).
В подобных случаях говорят, что задана сложная функция y = f(g(x)).
В нашем примере u = g(x) = x2, а y = f(u) = sin u.

Пусть y = f(g(x)) - сложная функция, причем функция u = g(x) дифференцируема в точке x , а функция y = f(u) дифференцируема в соответствующей точке u.
Тогда функция y = f(g(x)) дифференцируема в точке x, причем $$y'= f'(g(x)) \cdot g'(x)$$.
Запись f'(g(x)) означает, что производная вычисляется по формуле для f'(x), но вместо x подставляется g(x).


См. также:
Производные элементарных функций, Уравнение движения, Уравнение касательной

2017-01-13 22:48:32