Показательные и логарифмические неравенства: тереотический справочник

1. При решении неравенства вида af(x) > ag(x) следует помнить, что показательная функция y = ax возрастает при a > 1 и убывает при 0 < a < 1. Для его решения исследуем знак разности af(x) - ag(x).

Итак, выясним, что следует из того, что af(x) - ag(x) > 0 .

  • Если a > 1, то f (x) > g (x), а это значит, что (a - 1)( f (x) - g (x)) > 0.
  • Если 0 < a < 1, то f (x) < g (x), и опять (a - 1)( f (x) - g (x)) > 0.

Верно и обратное. Если (a - 1)( f (x) - g (x)) > 0, то при a > 1 имеем f (x) > g (x), то есть af(x) > ag(x) , а при 0 < a < 1 получаем f (x) < g (x), то есть af(x) > ag(x) . Таким образом, знак разности af(x) - ag(x) совпадает со знаком выражения (a - 1)( f (x) - g (x)). А это как раз обозначает, что получено условие равносильности: af(x) > ag(x) $$ \Leftrightarrow $$ (a - 1)(f (x) - g (x)) > 0.

2. Рассмотрим теперь неравенство logaf(x) > 0 (< 0), a > 0, $$a \ne 1$$ и найдем соответствующие ему условия равносильности. ОДЗ этого неравенства: f (x) > 0.

  • Если a > 1, то logaf(x) > 0 (< 0) тогда и только тогда, когда f (x) > 1 в ОДЗ ( f (x) < 1), то есть (a - 1)( f (x) - 1) > 0 (< 0).
  • Если 0 < a < 1, то logaf(x) > 0 (< 0) тогда и только тогда, когда f (x) < 1 в ОДЗ ( f (x) > 1), то есть опять (a - 1)( f (x) - 1) > 0 (< 0).

Верно и обратное. Если (a - 1)( f (x) - 1) > 0 (< 0), то при a > 1 имеем f (x)> 1 в ОДЗ ( f (x) < 1), а при 0 < a < 1 имеем f (x) < 1 в ОДЗ ( f (x) > 1). Таким образом, получаем следующие условия равносильности: $$\log _a f(x) > 0( < 0) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a > 0,\;a \ne 1,\;f(x) > 0; \\ \left( {a - 1} \right)\left( {f(x) - 1} \right) > 0( < 0). \\ \end{array} \right.$$. Знак logaf(x) совпадает со знаком выражения (a - 1)(f(x) - 1) в ОДЗ ( f (x) > 0).

3. При решении неравенства вида logaf(x) >logag(x) следует помнить, что логарифмическая функция y = logax возрастает при a > 1 и убывает при 0 < a < 1.

Рассмотрим неравенство вида logaf(x) >logag(x), где a > 0, $$a \ne 1$$, ОДЗ этого неравенства: $$\left\{ \begin{array}{l} f(x) > 0; \\ g(x) > 0. \\ \end{array} \right.$$.

Свойства неравенств:

  • Если a > 1 и n > 1 или 0< a < 1 и 0< n < 1, то an > 1.
  • Если a > 1 и 0< n < 1 или 0< a < 1 и n > 1, то an < 1.
  • Если a > 1 и af(x) < ag(x) $$ \Leftrightarrow $$ f(x) < g(x).
  • Если 0< a < 1 и af(x) < ag(x) $$ \Leftrightarrow $$ f(x) > g(x).
2017-01-14 14:40:50