Формулы двойного аргумента

Ключевые слова: тригонометрия, синус, косинус, тангенс, котангенс, формула двойного угла

В формулах синуса и косинуса суммы двух углов
$$sin(\alpha + \beta)= sin\alpha \cdot cos\beta + cos\alpha \cdot sin\beta$$,
$$cos(\alpha + \beta)= cos\alpha \cdot cos\beta - sin\alpha \cdot sin\beta$$
заменим $$\beta$$ на $$\alpha$$, получим соотношения:

$$sin(\alpha + \beta)= sin(\alpha + \alpha) = sin\alpha \cdot cos\alpha + cos\alpha \cdot sin\alpha \Leftrightarrow sin 2\alpha = 2sin \alpha \cdot cos\alpha$$;

$$cos(\alpha + \beta)= cos(\alpha + \alpha) = cos\alpha \cdot cos\alpha - sin\alpha \cdot sin\alpha \Leftrightarrow cos2\alpha = cos^{2}\alpha - sin^{2}\alpha$$.

Если подставить формулы $$sin^{2}\alpha = 1 - cos^{2}\alpha$$, $$cos^{2}\alpha = 1 - sin^{2}\alpha$$ в последнем соотношении,
то получим еще две формулы косинуса двойного угла: $$cos2\alpha = 1 - 2 sin^{2}\alpha$$ и $$cos2\alpha = 2cos^{2}\alpha - 1$$.

В формуле тангенса суммы двух углов $$tg(\alpha + \beta)= \frac{tg\alpha +tg\beta}{1- tg\alpha \cdot tg\beta}$$
заменим $$\beta$$ на $$\alpha$$, получим соотношение
$$tg(\alpha + \beta)= tg(\alpha + \alpha) = \frac{tg\alpha +tg\alpha}{1- tg\alpha \cdot tg\alpha} \Leftrightarrow tg2\alpha = \frac{2tg\alpha}{1- tg^{2}\alpha}$$.

Итак, получили следующие формулы:


См. также:
Определение тригонометрических функций, Основные триг формулы, Формула дополнительного угла, Формулы двойного аргумента, Формулы половинного аргумента, Формулы произведения функций, Формулы суммы аргументов, Формулы суммы функций
2017-01-14 01:25:25