Образцы решения заданий по теме "Логарифмические уравнения"

Пример 1. Решите уравнение $$\log _{16} x + \log _4 x + \log _2 x = 7$$

Решение: $$\log _{16} x + \log _4 x + \log _2 x = 7 \Leftrightarrow \log _{2^4 } x + \log _{2^2 } x + \log _2 x = 7 \Leftrightarrow $$ $$\frac{1}{4}\log _2 x + \frac{1}{2}\log _2 x + \log _2 x = 7 \Leftrightarrow \frac{7}{4}\log _2 x = 7 \Leftrightarrow \log _2 x = 4 \Leftrightarrow x = 16$$

Ответ: x =16

Для решения используем последовательно знания следующих свойств:

  • Свойство логарифма: $$ \log _{a^m } b = \frac{1}{m}\log _a b,\quad m \in R,\;\quad a^m > 0,\;\quad a^m \ne 1,\;\quad b > 0 $$
  • Определение логарифма: $$\log _a f(x) = b \Leftrightarrow f(x) = a^b $$

Пример 2. Решите уравнение $$x^{\lg x - 3} = 0,01$$

Решение: Прологарифмируем обе части уравнения $$x^{\lg x - 3} = 0,01$$, $$x > 0,\quad \;x \ne 1$$ по основанию 10 $$\lg x^{\lg x - 3} = \lg 0,01 \Leftrightarrow \left( {\lg x - 3} \right)\lg x = - 2$$. Пусть $$\lg x = y$$, тогда $$y^2 - 3y + 2 = 0 \Rightarrow y_1 = 1,\;y_2 = 2$$. Вернемся к замене $$\left[ \begin{array}{l} \lg x = 1, \\ \lg x = 2. \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x_1 = 10, \\ x_2 = 100. \\ \end{array} \right.$$

Ответ: x = -1

Для решения используем последовательно знания следующих свойств:

  • Метод логарифмирования: $$x^{\log _a x} = b \Leftrightarrow \log _a \left( {x^{\log _a x} } \right) = \log _a b$$
  • Свойство логарифма: $$ \log _a b^n = n \cdot \log _a \left| b \right|,\quad b^n > 0,\;n \in R $$
  • Метод замены переменной.
  • Решение квадратного уравнения.
  • Определение логарифма: $$\log _a f(x) = b \Leftrightarrow f(x) = a^b $$
2017-08-08 12:16:46