Образцы решения заданий по теме "Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств"

Пример 1. Решите уравнение $$\cos 2\pi x = x^2 - 8x + 17$$

Решение: $$\cos 2\pi x = x^2 - 8x + 17 \Leftrightarrow \cos 2\pi x = \left( {x - 4} \right)^2 + 1$$. Оценим левую и правую части уравнения: $$ - 1 \le \cos 2\pi x \le 1$$ и $$\left( {x - 4} \right)^2 + 1 \ge 1$$. Следовательно, равенство достигается, если $$\left\{ \begin{array}{l} \cos 2\pi x = 1, \\ \left( {x - 4} \right)^2 + 1 = 1. \\ \end{array} \right.$$. Решая второе уравнение системы, получаем x = 4. Подставляем это значение в первое уравнение и убеждаемся в верности равенства. Следовательно, x = 4 корень исходного уравнения.

Ответ: x = 4

Для решения используем последовательно знания следующих свойств:

  • Выделение полного квадрата из квадратичного трехчлена.
  • Свойство ограниченности функции синус: $$ - 1 \le \cos \alpha \le 1$$
  • Свойство ограниченности квадратичной функции: $$\left( {x \pm m} \right)^2 \pm k \ge \pm k$$
  • Формулы решения частного тригонометрического уравнения

Пример 2. Решите уравнение $$\sqrt {7 - x} = x - 1$$

Решение: Подбором находим, что x = 3 - корень уравнения. Убеждаемся, что других корней нет, поскольку левая часть уравнения - это убывающая функция, а правая - возрастающая функция.

Ответ: x = 3

Для решения используем последовательно знания следующих свойств:

  • Метод подбора решения уравнения.
  • Свойство убывающей функции: $$y = \sqrt {a - x} $$
  • Свойство возрастающей функции: $$y = x - 1$$
  • Теорема о монотонности функций.

Пример 3. Решите уравнение $$\sqrt {x - 1} + \sqrt {1 - x} = x^2 - 1$$

Решение: Рассмотрим ОДЗ уравнения, имеем ОДЗ: $$\left\{ \begin{array}{l} x - 1 \ge 0, \\ 1 - x \ge 0. \\ \end{array} \right. \Rightarrow x = 1$$ Таким образом, область допустимых значений состоит из одного числа. Останется проверить, является ли число x = 1 - корнем исходного уравнения. Убеждаемся в этом, подставляя x = 1 в исходное уравнение: $$x = 1 \Rightarrow \sqrt {1 - 1} + \sqrt {1 - 1} = 1 - 1\quad \Rightarrow \quad 0 = 0$$. Равенство верное, значит x = 1 - корень исходного уравнения.

Ответ: x = 1

Для решения используем последовательно знания следующих свойств:

  • Область допустимых значений функции $$y = \sqrt {f(x)} $$: ОДЗ(f): $$f(x) \ge 0$$

Пример 4. Решите уравнение $$\sin \frac{x}{2} \cdot \cos 2x = 1$$

Решение: Так как $$ - 1 \le \sin \frac{x}{2} \le 1$$ и $$ - 1 \le \cos 2x \le 1$$, то произведение $$\sin \frac{x}{2} \cdot \cos 2x$$ может равняться 1 лишь при выполнении одной из двух систем $$\left\{ \begin{array}{l} \sin \frac{x}{2} = 1, \\ \cos 2x = 1. \\ \end{array} \right.$$ или $$\left\{ \begin{array}{l} \sin \frac{x}{2} = - 1, \\ \cos 2x = - 1. \\ \end{array} \right.$$. Решим первую систему $$\left\{ \begin{array}{l} \sin \frac{x}{2} = 1, \\ \cos 2x = 1. \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \pi + 4\pi n,\;n \in Z, \\ x = \pi n,\;n \in Z. \\ \end{array} \right. \Rightarrow x = \pi + 4\pi n,\;n \in Z$$. Решим вторую систему $$\left\{ \begin{array}{l} \sin \frac{x}{2} = - 1, \\ \cos 2x = - 1. \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - \pi + 4\pi n,\;n \in Z, \\ x = \frac{\pi }{2} + \pi n,\;n \in Z. \\ \end{array} \right. \Rightarrow x \in \emptyset $$

Ответ: $$x = \pi + 4\pi n,\;n \in Z$$

Для решения используем последовательно знания следующих свойств:

  • Свойство ограниченности функции синус: $$ - 1 \le \cos \alpha \le 1$$
  • Свойство ограниченности функции синус: $$ - 1 \le \sin \alpha \le 1$$
  • Решение простейших тригонометрических уравнений
  • Выбор корней уравнения на тригонометрическом круге среди серий корней простейших уравнений.
2017-01-14 09:59:18