Значения тригонометрических функций

Ключевые слова: радиан, радианная мера угла, тригонометрическая окружность, знаки тригонометрических функций

В геометрии угол определяется как часть плоскости, ограниченная двумя лучами.
При таком определении получаются углы от 0° до 180°. Однако угол можно рассматривать и как меру поворота.
Возьмем на координатной плоскости окружность радиуса R с центром O в начале координат.
Пусть одна сторона угла $$\alpha$$ с вершиной в начале координат O идет по оси абсцисс, а сам угол положительный, то есть, по определению, отложен по направлению против часовой стрелки от положительного направления оси абсцисс.
Из геометрии известно, что отношение длины дуги l , на которую опирается этот угол, к радиусу R этой окружности не зависит от самого радиуса. Поэтому это отношение может быть выбрано характеристикой и мерой данного угла: $$\alpha = \frac{l}{R}$$.

Такая мера называется радианной мерой угла и используется наравне с угловой.
Говорят, что угол равен определенному числу радиан.
Ясно, что угол в один радиан опирается на длину дуги окружности, равную её радиусу.
В самом деле: $$\alpha = \frac{R}{R} = 1$$ радиан. Обозначение радиана – «рад».
Так как длина всей окружности радиуса R равна 2$$\pi$$R , то всей окружности соответствует угол $$\alpha = \frac{2\pi R}{R} = 2\pi $$ радиан. Поскольку вся окружность содержит 360°, то один радиан соответствует $$\frac{360^\circ}{2\pi}= \frac{180^\circ}{\pi}$$ градусов:
$$1 рад = \frac{180^\circ}{\pi}\simeq57,17^\circ$$. И наоборот, $$1^\circ = \frac{\pi}{180}рад$$.

Значит, можно написать следующие формулы перехода от градусного измерения к радианному:
$$\alpha = \frac{\pi\alpha^\circ}{180^\circ} рад$$

и от радианного измерения к градусному:
$$\alpha^\circ = \frac{180^\circ}{\pi}\alpha$$.

Обозначение «рад» при записи часто опускают и вместо, например, 180° = $$\pi$$ рад пишут просто 180° = $$\pi$$.

Пользуясь этими формулами, легко получить следующую таблицу перевода некоторых наиболее часто встречающихся углов из градусной меры в радианную и обратно.

Угол, градусы

30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°

Угол, радианы

0 $$\frac{\pi}{6}$$
$$\frac{\pi}{4}$$
$$\frac{\pi}{3}$$
$$\frac{\pi}{2}$$
$$\pi$$
$$\frac{3\pi}{2}$$
$$2\pi$$

Так как, синус по определению равен ординате точки на единочной окружности, а косинус - абсциссе, то знаки тригонометрических функций по четвертям будут такими:


I
II
III
IV
$$sin\alpha$$ +
+
- -
$$cos\alpha$$
+
- - +
$$tg\alpha$$
+
- +
-
$$ctg\alpha$$
+
- +
-

Вычисление тригонометрических функций некоторых углов.

020401_2

treygol_1
treygol_2
treygol_3




2017-01-14 19:41:13