Многочлен одной переменной

Ключевые слова: квадратный трехчлен, многочлен первой степени, многочлен второй степени. многочлен третьей степени, многочлен n -ной степени.

Общая теория многочленов многих переменных далеко выходит за рамки школьного курса. Мы рассмотрим многочлены одной действительной переменной, да и то в простейших случаях. Рассмотрим многочлены одной переменной, приведённые к стандартному виду.

Многочлен ax + b , где $$a \ne 0$$, a, b - числа, x - переменная, называется многочленом первой степени .
Многочлен $$ax^{2} + bx + c$$, где $$a \ne 0$$, a , b , c - числа, x - переменная, называется многочленом второй степени ( квадратным трёхчленом , квадратичной функцией ).
Многочлен $$ax^{3} + bx^{2} + cx + d$$, где $$a \ne 0$$, a , b , c , d - числа, x - переменная, называется многочленом третьей степени .

Вообще, многочлен P n ( x ) = a n x n + a n – 1 x n – 1 + a n – 2 x n – 2 + ... + a 1 x + a 0 , где $$a \ne 0$$, $$a_{k}, k = 0, 1, 2, 3,..., n$$ - числа, x - переменная, называется многочленом n -ной степени .
Традиционно $$a_{n}$$ называется старшим коэффициентом , а $$a_{0}$$ - свободным членом многочлена.

Действительное число a называется корнем многочлена P n ( x ), если P n ( a ) = 0.

Корень многочлена первой степени легко угадывается: $$x = - \frac{b}{a}$$. В самом деле: $$a(-\frac{b}{a}) + b = -b + b = 0$$.

Корни квадратного трехчлена можно найти по формулам $$x_{1}= \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}, x_{2}= \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$$,

выражение D = b2– 4 ac называется дискриминантом квадратного трехчлена , причем только при D > 0 квадратный техчлен имеет корни.

Тогда последнее разложение квадратного трехчлена имеет вид: ax 2 + bx + c = a ( x x 1 )( x x 2 ).

Отсюда непосредственно видно, что числа x 1 и x 2 являются корнями квадратного трехчлена ax 2 + bx + c .

Полученная формула ввиду своей важности называется формулой разложения квадратного трехчлена на множители .

2017-08-07 21:34:13