Решение уравнений, содержащих знак модуля: методы, приемы, равносильные переходы

1. Уравнение вида $$ \left| {f(x)} \right| = a,\,\,\,\,a \in R $$

Решение:

  • если a < 0 - решения нет.
  • если a = 0 - решением уравнения $$ \left| {f(x)} \right| = a,\,\,\,\,a \in R $$ будет решение уравнения f(x) = 0.
  • если a > 0 - решением уравнения $$ \left| {f(x)} \right| = a,\,\,\,\,a \in R $$ будет решение равносильной совокупности $$ \left[ \begin{array}{l} f(x) = a; \\ f(x) = - a. \\ \end{array} \right.$$

2. Уравнение вида $$ \left| {f(x)} \right| = g(x) $$

Решение:

1 случай. Решением уравнения $$ \left| {f(x)} \right| = g(x) $$ будет решение равносильной совокупности $$ \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} g(x) \ge 0; \\ f(x) = g(x), \\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} g(x) \ge 0; \\ - f(x) = g(x). \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right.$$

Замечание. Рассмотрим цепочку равносильных переходов $$ \left| {f(x)} \right| = g(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f(x) = \pm g(x); \\ g(x) \ge 0. \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} f(x) = g(x), \\ f(x) = - g(x); \\ \end{array} \right. \\ g(x) \ge 0. \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} f(x) = g(x); \\ g(x) \ge 0, \\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} - f(x) = g(x); \\ g(x) \ge 0. \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right.$$

Решение:

2 случай. Решением уравнения $$ \left| {f(x)} \right| = g(x) $$ будет решение равносильной совокупности $$ \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} f(x) \ge 0; \\ f(x) = g(x), \\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} f(x) < 0; \\ - f(x) = g(x). \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right.$$

Замечание. Рассмотрим цепочку равносильных переходов $$ \left| {f(x)} \right| = g(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} f(x) = g(x),\quad f(x) \ge 0, \\ - f(x) = g(x),\quad f(x) < 0; \\ \end{array} \right. \\ g(x) \ge 0. \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} f(x) \ge 0; \\ f(x) = g(x), \\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} f(x) < 0; \\ - f(x) = g(x). \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right. $$

3. Уравнение вида $$\left| {f(x)} \right| = \left| {g(x)} \right|$$

Решение:

1 случай. Решением уравнения $$\left| {f(x)} \right| = \left| {g(x)} \right|$$ будет решение равносильного уравнения $$ f^2 (x) = g^2 (x) $$

Замечание. Рассмотрим цепочку равносильных переходов $$ \left| {f(x)} \right| = \left| {g(x)} \right| \Leftrightarrow \left( {\left| {f(x)} \right|} \right)^2 = \left( {\left| {g(x)} \right|} \right)^2 \Leftrightarrow f^2 (x) = g^2 (x) $$

Решение:

2 случай. Решением уравнения $$\left| {f(x)} \right| = \left| {g(x)} \right|$$ будет решение равносильной совокупности $$ \left[ \begin{array}{l} f(x) = g(x), \\ f(x) = - g(x). \\ \end{array} \right. $$

Замечание. Решение основано на определении модуя от функции.

4. Уравнение вида $$ \left| {f(x)} \right| = - f(x)$$

Решение: Решением уравнения $$ \left| {f(x)} \right| = - f(x)$$ будет решение равносильного неравенства $$ f(x) \le 0$$

5. Уравнение вида $$ \left| {f(x)} \right| = f(x)$$

Решение: Решением уравнения $$ \left| {f(x)} \right| = f(x)$$ будет решение равносильного неравенства $$ f(x) \ge 0 $$