Показательные и логарифмические неравенства

Ключевые слова: показательные неравенства, логарифмические неравенства, равносильность неравенств

1. При решении неравенства вида $$a^{f(x)} > a^{g(x)}$$ следует помнить, что показательная функция $$y = a^{x}$$ возрастает при a > 1 и убывает при 0 < a < 1.
Для его решения исследуем знак разности $$a^{f(x)} - a^{g(x)}$$. Итак, выясним, что следует из того, что $$a^{f(x)} - a^{g(x)}> 0$$.

  • Если a > 1, то f (x) > g (x), а это значит, что (a – 1)( f (x) – g (x)) > 0.
  • Если 0 < a < 1, то f (x) < g (x), и опять (a – 1)( f (x) – g (x)) > 0.

Верно и обратное. Если (a – 1)( f (x) – g (x)) > 0, то при a > 1 имеем f (x) > g (x), то есть $$a^{f(x)} > a^{g(x)}$$,
а при 0 < a < 1 получаем f (x) < g (x), то есть $$a^{f(x)} > a^{g(x)}$$.

Таким образом, знак разности $$a^{f(x)} - a^{g(x)}$$ совпадает со знаком выражения (a – 1)( f (x) – g (x)).
А это как раз обозначает, что получено условие равносильности:

$$a^{f(x)} > a^{g(x)}$$ $$\Leftrightarrow$$ (a – 1)( f (x) – g (x)) > 0.

2. Рассмотрим теперь неравенство $$log_{a}f(x) > 0 (< 0), a > 0, a \ne 1$$ и найдем соответствующие ему условия равносильности.
ОДЗ этого неравенства: f (x) > 0.

  • Если a > 1, то $$log_{a}f(x)>0(< 0)$$ тогда и только тогда, когда f (x) > 1 в ОДЗ ( f (x) < 1), то есть (a – 1)( f (x) – 1) > 0 (< 0).
  • Если 0 < a < 1, то $$log_{a}f(x)>0(< 0)$$ тогда и только тогда, когда f ( x ) < 1 в ОДЗ ( f ( x ) > 1), то есть опять (a – 1)( f (x) – 1) > 0 (< 0).

Верно и обратное, если (a – 1)( f (x) – 1) > 0 (< 0), то при a > 1 имеем f (x) > 1 в ОДЗ ( f (x) < 1), а при 0 < a < 1 имеем f ( x) < 1 в ОДЗ ( f (x) > 1).
Таким образом, получаем следующие условия равносильности:

$$log_{a}f(x)>0(<0)\Leftrightarrow\cases{{a>0, a \ne 1, f(x)>0}\cr{(a-1)(f(x)-1)> 0(< 0)}}$$

Знак $$log_{a}f(x)$$ совпадает со знаком выражения (a - 1)(f(x) - 1) в ОДЗ ( f (x) > 0).

3. При решении неравенства вида $$log_{a}f(x)>log_{a}g(x)$$ следует помнить,
что логарифмическая функция $$y = log_{a}x$$ возрастает при a > 1 и убывает при 0 < a < 1.
Рассмотрим неравенство вида $$log_{a}f(x)>log_{a}g(x)$$, где $$a>0, a \ne 1$$,
ОДЗ этого неравенства: $$\cases{{f(x)> 0,}\cr{g(x)> 0.}}$$.

$$log_{a}f(x)> log_{a}g(x)\Leftrightarrow \cases{{f(x) > 0, g(x)> 0}\cr{(a - 1)(f(x) - g(x)) > 0}}$$

2017-08-08 04:21:52