Решение простейших иррациональных неравенств

Основными методами решения иррациональных неравенств является: равносильные преобразованиями, замена переменных, метод интервалов. Решение иррациональных неравенств осложняется тем, что, как правило, невозможно сделать проверку правильности решения. Поэтому все преобразования решения иррациональных неравенств должны быть равносильными и в процессе решения надо строго за этим следить. Рассмотрим простейшие, самые распространенные случаи иррациональных неравенств, которые имеют вид $$ \sqrt {f\left( x \right)} \vee g\left( x \right)$$

Первый случай Рассмотрим иррациональные неравенства вида $$ \sqrt {f\left( x \right)} \le g\left( x \right)$$ и $$ \sqrt {f\left( x \right)} < g\left( x \right)$$. Все рассуждения, которые мы будем вести, рассматривая первое неравенство, полностью можно использовать и для второго неравенства. Неравенство решается, возведением обех частей в квадрат и переходя к равносильной системе трех неравенств: $$ \sqrt {f(x)} \le g(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f\left( x \right) \le g^2 \left( x \right); \\ f\left( x \right) \ge 0; \\ g\left( x \right) \ge 0. \\ \end{array} \right.$$

Замечание. Так как арифметический корень из неотрицательного числа неотрицательный, то он, может быть, сравним знаком $$ \le $$ только с положительным выражением. Таким образом, высказывание <положительное меньше положительного> имеет смысл. Если предположить, что $$g\left( x \right)$$ отрицательно, то неравенство читается так <положительное меньше отрицательного>. Последнее высказывание, не имеет ни какого смысла. Значит правая часть неравенства $$ \sqrt {f\left( x \right)} \le g\left( x \right)$$ всегда положительная.

Второй случай Рассмотрим иррациональные неравенства вида $$ \sqrt {f\left( x \right)} \ge g\left( x \right)$$ и $$\sqrt {f\left( x \right)} > g\left( x \right)$$. Все рассуждения, которые мы будем вести, рассматривая первое неравенство, полностью можно использовать и для второго неравенства. В зависимости от знака $$ g\left( x \right) $$ рассмотрим две системы: $$\sqrt {f(x)} \ge g(x) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} f\left( x \right) \ge g^2 \left( x \right); \\ g\left( x \right) \ge 0. \\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} f\left( x \right) \ge 0; \\ g\left( x \right) < 0. \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right.$$ Обратим внимание, что квадратные скобки показывают, что каждая из систем, объединенная этими скобками, решается отдельно и дает отдельную часть ответа. Общий ответ просто объединяет ответы всех систем, входящих в совокупность.

Замечание. Так как арифметический корень всегда положительный, то знак сравнения $$ \ge$$ не предполагает однозначности выражения $$ g\left( x \right)$$. Ведь высказывания <положительное больше отрицательного> и <положительное больше положительного> оба имеют смысл.

2017-08-07 19:20:11