Среднее значение

Среднее значение (числовая характеристика множества чисел или функций) - это некоторое число, заключённое между наименьшим и наибольшим из их значений.

Утверждение 1. Средним значением функции $$ y = f(x)$$ на отрезке $$ \left[ {a;b} \right]$$ принимают величину $$ \bar f = \frac{1}{{b - a}}\int\limits_a^b {f(x)dx}$$

Утверждение 2. Среднее Колмогорова для действительных чисел $$ x_1 ,x_2 ,...,x_n$$ - это величины вида $$
M\left( {x_1 ,x_2 ,...,x_n } \right) = \varphi ^{ - 1} \left( {\frac{{\varphi (x_1 ) + \varphi (x_2 ) + .... + \varphi (x_n )}}{n}} \right)$$ , где $$ \varphi $$ - непрерывная строго монотонная функция, а $$ \varphi ^{ - 1}$$ функция, обратная к ней

Замечание. Выбор определенных функций $$ \varphi $$ дает различные классические среднии:

при $$ \varphi \left( x \right) = x $$ - среднее арифметическое

при $$ \varphi \left( x \right) = \log x $$ - среднее геометрическое

при $$ \varphi \left( x \right) = x^{ - 1}$$ - среднее гармоническое

при $$ \varphi \left( x \right) = x^2$$ - среднее квадратическое

при $$ \varphi \left( x \right) = x^n ,\quad n \ne 0$$ - среднее степенное

2017-01-14 07:58:13