Образцы решения заданий по теме "Показательные уравнения"

Пример 1. Решите уравнение $$2 \cdot 3^{x + 1} - 6 \cdot 3^{x - 1} - 3^x = 9$$

Решение: Так как $$a > 1$$,то за скобки выносим степень с наименьшим показателем $$3^{x - 1} \left( {2 \cdot 3^2 - 6 - 3^1 } \right) = 9 \Leftrightarrow 3^{x - 1} \cdot 9 = 9 \Leftrightarrow 3^{x - 1} = 1 \Leftrightarrow x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1$$

Ответ: $$x = 1$$

Для решения используем последовательно знания следующих свойств:

  • Свойство показательной функции: если $$a > 1$$ , то $$y = a^x $$ - возрастающая
  • Свойство частного степеней с одинаковыми основаниями: $$a^{m - n} = a^m :a^n $$
  • Свойство степени с нулевым показателем: $$a^0 = 1,\quad a \ne 0$$

Пример 2. Решите уравнение $$\left( {\frac{1}{5}} \right)^x + \left( {\frac{1}{5}} \right)^{x - 1} = 30$$

Решение: Так как $$0 < a < 1$$, то за скобки выносим степень с наибольшим показателем $$\left( {\frac{1}{5}} \right)^x \left( {1 + \left( {\frac{1}{5}} \right)^{ - 1} } \right) = 30 \Leftrightarrow \left( {\frac{1}{5}} \right)^x \cdot 6 = 30 \Leftrightarrow \left( {\frac{1}{5}} \right)^x = 5 \Leftrightarrow x = - 1$$

Ответ: $$x = - 1$$

Для решения используем последовательно знания следующих свойств:

  • Свойство показательной функции: если $$0 < a < 1$$ , то $$y = a^x $$ - убывающая
  • Свойство частного степеней с одинаковыми основаниями: $$a^{m - n} = a^m :a^n $$
  • Свойство степени с отрицательным показателем: $$\left( {\frac{a}{b}} \right)^{ - n} = \left( {\frac{b}{a}} \right)^n ,\quad n \in Z$$
2017-08-08 01:55:40