Неравенства с модулем: примеры и достаточные знания, необходимые для решения заданий

Задания
Достаточные знания
Формулы
$$\quad $$ $$\left| {x^2 - 2x} \right| \ge 8 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x^2 - 2x \ge 8, \\ x^2 - 2x \le - 8. \\ \end{array} \right.$$ Равносильность неравенства с модулем $$\left| x \right| \ge a,\;a > 0$$ $$\quad $$ $$\left| x \right| \ge a,\;a > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x \ge a, \\ x \le - a. \\ \end{array} \right.$$
$$\quad $$ $$\left| {x^2 - 2x} \right| \ge - 8 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ; + \infty } \right)$$ Равносильность неравенства с модулем $$\left| x \right| \ge a,\;a < 0$$ $$\quad $$ $$\left| x \right| \ge a,\;a < 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ; + \infty } \right)$$
$$\quad $$ $$\left| {2x - 7} \right| \le 3 \Leftrightarrow - 3 \le 2x - 7 \le 3$$ Равносильность неравенства с модулем $$\left| x \right| \le a,\;a > 0$$ $$\quad $$ $$\left| x \right| \le a,\;a > 0 \Leftrightarrow - a \le x \le a$$
$$\quad $$ $$\left| {2x - 3} \right| \le - 1 \Leftrightarrow x \in \emptyset $$ Равносильность неравенства с модулем $$\left| x \right| \le a,\;a < 0$$ $$\quad $$ $$\left| x \right| \le a,\;a < 0 \Leftrightarrow x \in \emptyset $$
$$\quad $$ $$\begin{array}{l} x\left| {2x - 3} \right| < 2 \Leftrightarrow \\ \left\{ \begin{array}{l} x\left( {2x - 3} \right) < 2,\quad 2x - 3 \ge 0, \\ x\left( {3 - 2x} \right) < 2,\quad 2x - 3 < 0.\quad \\ \end{array} \right. \\ \end{array}$$ Определение модуля $$\left| a \right|$$ $$\quad $$ $$\left| a \right| = \left\{ \begin{array}{l} a,\quad a \ge 0, \\ - a,\;\;a < 0. \\ \end{array} \right.$$
$$\quad $$ $$\left| {x - 2} \right| \cdot \left( {x - 1} \right) > 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x - 1 > 0, \\ x - 2 \ne 0. \\ \end{array} \right.$$ Равносильность неравенства с модулем $$\left| f \right| \cdot g < ( > )0$$ $$\quad $$ $$\left| f \right| \cdot g < ( > )0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} g < ( > )0, \\ f \ne 0. \\ \end{array} \right.$$
$$\quad $$ $$\left| {x^2 - 4} \right| \cdot \left( {3 - x} \right) \le 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3 - x \le 0, \\ x^2 - 4 = 0. \\ \end{array} \right.$$ Равносильность неравенства с модулем $$\left| f \right| \cdot g \le ( \ge )0$$ $$\quad $$ $$\left| f \right| \cdot g \le ( \ge )0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} g \le ( \ge )0, \\ f = 0. \\ \end{array} \right.$$

Пример. Решите неравенство $$\left| {x - 1} \right| \le \left| {2x + 1} \right|$$

Решение: $$\left| {x - 1} \right| \le \left| {2x + 1} \right| \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)^2 \le \left( {2x + 1} \right)^2 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)^2 - \left( {2x + 1} \right)^2 \le 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1 - 2x - 1} \right)\left( {x - 1 + 2x + 1} \right) \le 0 \Leftrightarrow $$ $$\left( { - x - 2} \right)3x \le 0 \Leftrightarrow 3x\left( {x + 2} \right) \ge 0$$ Квадратичная функция $$f(x) = 3x\left( {x + 2} \right) = 3x^2 + 6x$$ пересекает ось OX в точках с координатами -2 и 0, при этом ветви параболы направлены вверх. Решением неравенства $$3x\left( {x + 2} \right) = 3x^2 + 6x \ge 0$$ будет часть оси OX над которой расположена часть параболы, т.е. $$\left( { - \infty ; - 2} \right] \cup \left[ {0; + \infty } \right)$$

Ответ: $$\left( { - \infty ; - 2} \right] \cup \left[ {0; + \infty } \right)$$

Для решения используем последовательно знания следующих свойств:

  • Свойство равносильности неравенств: $$ \left| {f(x)} \right| < \left| {g(x)} \right| \Leftrightarrow \;f^2 (x) < g^2 (x)\; \Leftrightarrow \;\left( {f(x) - g(x)} \right) \cdot \left( {f(x) + g(x)} \right) < 0 $$.
  • Решение неполного квадратного уравнения.
  • Свойство квадратичной функции.
  • Свойства решения квадратичного неравенства: $$ x^2 + px + q \le 0 $$
2017-08-07 19:42:27