При решении уравнений, содержащих выражение с неизвестной под знаком модуля, в соответствии с правилом раскрытия модуля, рассматриваются два случая: выражение под знаком модуля отрицательно и неотрицательно.

$$1)\left| {f(x)} \right| = f(x)\; \Leftrightarrow \;f(x) \ge 0\quad \quad 2)\quad \left| {f(x)} \right| = - f(x)\; \Leftrightarrow \;f(x) \le 0$$

Простейшие уравнения, содержащие выражение с переменной под знаком модуль

• $$1)\;\left| {f(x)} \right| = k\; \Rightarrow \;f(x) = \pm k\;(k > 0)\quad 2)\;\left| {f(x)} \right| = 0\; \Rightarrow \;f(x) = 0\quad 3)\;\left| {f(x)} \right| = k\; \Rightarrow \;x \in \emptyset \;(k < 0) $$
• $$ \left| {f(x)} \right| + af{}^2(x) = k\; \Rightarrow \;\left| {f(x)} \right| + a\left| {f(x)} \right|^2 = k\quad Замена:\;y = \;\left| {f(x)} \right| \Rightarrow \;y + ay^2 = k $$
• $$ \left| {f(x)} \right| = \left| {g(x)} \right|\;\; \Rightarrow \;f^2 (x) = g^2 (x)\; \Rightarrow \;\left( {f(x) - g(x)} \right) \cdot \left( {f(x) + g(x)} \right) = 0 $$
• $$\left| {f(x)} \right| = \left| {g(x)} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} f(x) = g(x); \\ f(x) = - g(x). \\ \end{array} \right.$$
• $$\left| {f(x)} \right| = g(x) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} g(x) \ge 0, \\ \left[ \begin{array}{l} f(x) = g(x) \\ f(x) = - g(x) \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right.$$
• $$\left| {f(x)} \right| = - \left| {g(x)} \right| \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f(x) = 0, \\ g(x) = 0. \\ \end{array} \right.$$

Уравнения вида $$\left| {f_1 (x)} \right| + \left| {f_2 (x)} \right| = \left| {f_3 (x)} \right|$$, содержащие алгебраическую сумму двух и более модулей, решают методом промежутков:

• определяют область допустимых значений неизвестной x;
• находят значения неизвестной x₁, x₂, x₃, :, x_n, при которых выражения, стоящие под знаком модуля, обращаются в 0;
• наносят все x_i из ОДЗ на числовую прямую, разделив ее на i + 1 промежутков;
• на каждом из i + 1 промежутков раскрывают каждый модуль по правилу раскрытия модуля;
• решают i + 1 уравнения, в ответ выписывают объединение всех решений уравнений.