Степень с произвольным показателем

Ключевые слова: степень с произвольным показателем, нецелая степень отрицательного числа, степень с рациональным показателем,

Пусть $$a \ge 0$$, $$n, m \in N, n \ge 2$$. По определению полагают, что $$a^{\frac{m}{n}} = \root n \of {a^{m}}$$.

Если же a > 0, то по определению полагают, что $$a^{-\frac{m}{n}} = \frac{1}{a^{\frac{m}{n}}}$$.

Понятие нецелой степени отрицательного числа не имеет смысла.

Пусть a > 0, b > 0, r , s - любые рациональные числа. Тогда степень с любым рациональным показателем обладает следующими свойствами.

  1. a r · a s = a r + s
  2. a r : a s = a r – s
  3. ( a r ) s = a r s
  4. a r · b r = ( a b ) r
  5. $$\frac{a^{r}}{b^{r}}= (\frac{a}{b})^{r}$$

Для любого действительного числа существует операция возведения в натуральную степень;
для любого числа $$a \ne 0$$ существует операция возведения в нулевую и целую отрицательную степень;
для любого $$a \ge 0$$ существует операция возведения в положительную дробную степень;
для любого a > 0 мы существует операция возведения в отрицательную дробную степень.

Для положительных чисел a можно придать смысл записи a $$\alpha$$ , где $$\alpha$$ - иррациональное число.
Для этого нужно рассмотреть три случая: a = 1, a > 1, 0 < a < 1.

  • Если a = 1, то по определению полагают, что 1 $$\alpha$$ = 1.
  • Если a > 1, то существуют любое рациональное число r 1 < $$\alpha$$ и любое рациональное число r 2 > $$\alpha$$ .
    Тогда, очевидно, r 1 < r 2 и, следовательно: $$\frac{a^{r_{1}}}{a^{r_{2}}} = a^{r_{1} - r_{2}} = \frac{1}{a^{r_{2} - r_{1}}}$$.
    Но $$r_{2} - r_{1} > 0$$ и потому (так как a > 1) $$a^{r_{2} - r_{1}}> 1$$ и, наконец, $$\frac{a^{r_{1}}}{a^{r_{2}}}< 1\Leftrightarrow a^{r_{1}}< a^{r_{2}}$$.
  • Под a $$\alpha$$ понимают такое число, которое лежит между $$a^{r_{1}}$$ и $$a^{r_{2}}$$ при любом выборе чисел r 1 и r 2 обладающих свойством $$r_{1}< \alpha < r_{2}$$.
    Можно доказать, что число a $$\alpha$$ существует и единственно для любого a > 1 и любого иррационального $$\alpha$$
  • Если 0 < a < 1, то выберем любое рациональное число $$r_{1}< \alpha$$ и любое рациональное число $$r_{2}> \alpha$$.
    Тогда, очевидно, $$r_{1}< r_{2}$$ и, следовательно, $$a^{r_{1}}> a^{r_{2}}$$ (это неравенство доказывается аналогично приведённому выше для a > 1).
  • Под a $$\alpha$$ понимают такое число, которое лежит между $$a^{r_{1}}$$ и $$ a^{r_{2}}$$ при любом выборе чисел $$r_{1}$$ и $$r_{2}$$ обладающих свойством $$r_{1}< \alpha < r_{2}$$.
    Можно доказать, что число a $$\alpha$$ существует и единственно для любого 0 < a < 1 и любого иррационального $$\alpha$$.

Определение. Пусть a > 0, b > 0, x и y - любые действительные числа. Тогда справедливы следующие свойства степени с любым действительным показателем:

  1. a x · a y = a x + y .
  2. a x : a y = a x – y .
  3. ( a x ) y = a xy .
  4. a x · b x = ( ab ) x .
  5. $$\frac{a^{x}}{b^{x}}= (\frac{a}{b})^{x}$$