егэ по математике

Определение. Пусть теперь $$a \ge 0$$, $$n, m \in N, n \ge 2$$. По определению полагают, что $$a^{\frac{m}{n}} = \root n \of {a^{m}}$$.

Если же a > 0, то по определению полагают, что $$a^{-\frac{m}{n}} = \frac{1}{a^{\frac{m}{n}}}$$. Понятие нецелой степени отрицательного числа не имеет смысла.

Определение. Пусть a > 0, b > 0, r , s − любые рациональные числа. Тогда степень с любым рациональным показателем обладает следующими свойствами.

1. a ^r · a ^s = a ^{r + s}
2. a ^r : a ^s = a ^{r – s}
3. ( a ^r ) ^s = a ^{r s}
4. a ^r · b ^r = ( a b ) ^r
5. $$\frac{a^{r}}{b^{r}}= (\frac{a}{b})^{r}$$

Для любого действительного числа существует операция возведения в натуральную степень; для любого числа $$a \ne 0$$ существует операция возведения в нулевую и целую отрицательную степень; для любого $$a \ge 0$$ существует операция возведения в положительную дробную степень; для любого a > 0 мы существует операция возведения в отрицательную дробную степень. Для положительных чисел a можно придать смысл записи a ^α , где α − иррациональное число. Для этого нужно рассмотреть три случая: a = 1, a > 1, 0 < a < 1.

• Если a = 1, то по определению полагают, что 1 ^α = 1.
• Если a > 1, то существуют любое рациональное число r ₁ < α и любое рациональное число r ₂ > α . Тогда, очевидно, r ₁ < r ₂ и, следовательно: $$\frac{a^{r_{1}}}{a^{r_{2}}} = a^{r_{1} - r_{2}} = \frac{1}{a^{r_{2} - r_{1}}}$$. Но $$r_{2} - r_{1} > 0$$ и потому (так как a > 1) $$a^{r_{2} - r_{1}}> 1$$ и, наконец, $$\frac{a^{r_{1}}}{a^{r_{2}}}< 1\Leftrightarrow a^{r_{1}}< a^{r_{2}}$$.
• Под a ^α понимают такое число, которое лежит между $$a^{r_{1}}$$ и $$a^{r_{2}}$$ при любом выборе чисел r ₁ и r ₂ обладающих свойством $$r_{1}< \alpha < r_{2}$$. Можно доказать, что число a ^α существует и единственно для любого a > 1 и любого иррационального α
• Если 0 < a < 1, то выберем любое рациональное число $$r_{1}< \alpha$$ и любое рациональное число $$r_{2}> \alpha$$. Тогда, очевидно, $$r_{1}< r_{2}$$ и, следовательно, $$a^{r_{1}}> a^{r_{2}}$$ (это неравенство доказывается аналогично приведённому выше для a > 1).
• Под a ^α понимают такое число, которое лежит между $$a^{r_{1}}$$ и $$ a^{r_{2}}$$ при любом выборе чисел $$r_{1}$$ и $$r_{2}$$ обладающих свойством $$r_{1}< \alpha < r_{2}$$. Можно доказать, что число a ^α существует и единственно для любого 0 < a < 1 и любого иррационального α.

Определение. Пусть a > 0, b > 0, x и y − любые действительные числа. Тогда справедливы следующие свойства степени с любым действительным показателем:

1. a ^x · a ^y = a ^{x + y} .
2. a ^x : a ^y = a ^{x – y} .
3. ( a ^x ) ^y = a ^xy .
4. a ^x · b ^x = ( ab ) ^x .

5. $$\frac{a^{x}}{b^{x}}= (\frac{a}{b})^{x}$$
   

Ким Наталья Анатольевна