Логарифм: теоретический справочник

Определение
Формулы

Логарифмом числа по b основанию a называется такое число, обозначаемое $$ \log _a b$$ , что $$ a^{\log _a b} = b$$. a - основание логарифма: a > 0, $$ a \ne 1 $$, b - логарифмическое число: b > 0

Основное логарифмическое тождество: $$ a^{\log _a b} = b,a > 0,a \ne 1,b > 0$$

$$\quad $$ $$ \begin{array}{l} \log _a 1 = 0;\quad \;\log _a a = 1, \\ a > 0,a \ne 1;\;\;\lg 10 = \ln e = 1 \\ \end{array}$$ $$\quad $$ $$ \log _a a^k = k,k \in R$$
$$\quad $$ $$ \begin{array}{l} \log _a \left( {b \cdot c} \right) = \log _a \left| b \right| + \log _a \left| c \right|, \\ a > 0,\quad a \ne 1,\quad b \cdot c > 0 \\ \end{array}$$ $$\quad $$ $$ \begin{array}{l} \log _a b + \log _a c = \log _a \left( {b \cdot c} \right), \\ a > 0,\;a \ne 1,\;d > 0,\;c > 0 \\ \end{array}$$

Десятичный логарифм: $$ \lg b = \log _{10} b$$

Натуральный логарифм: $$\ln b = \log _e b$$, где $$ e = 2,71828... $$

$$\quad $$ $$ \begin{array}{l} \log _a \left( {\frac{b}{c}} \right) = \log _a \left| b \right| - \log _a \left| c \right|, \\ a > 0,\quad a \ne 1,\quad b \cdot c > 0 \\ \end{array}$$ $$\quad $$ $$ \begin{array}{l} \log _a b - \log _a c = \log _a \left( {\frac{b}{c}} \right) \\ a > 0,\;a \ne 1,\quad b > 0,\;c > 0 \\ \end{array}$$
$$\quad $$ $$ \begin{array}{l} \log _a b^n = n \cdot \log _a \left| b \right|, \\ b^n > 0,\quad n \in R \\ \end{array} $$ $$\quad $$ $$ \begin{array}{l} n \cdot \log _a b = \log _a b^n , \\ b > 0,\quad n \in R \\ \end{array}$$

Правило о знаке логарифма:

$$ \log _a b $$ положителен, если основание a логарифма и число b расположены на числовой оси по одну сторону от 1, и $$ \log _a b $$отрицателен, если основание a логарифма и число b расположены на числовой оси по разные стороны от 1

$$\quad $$ $$ \begin{array}{l} \log _a b = \frac{{\log _c b}}{{\log _c a}},a > 0,a \ne 1, \\ c > 0,\quad c \ne 1,\quad b > 0 \\ \end{array}$$ $$\quad $$ $$ \begin{array}{l} \log _a b = \frac{1}{{\log _b a}},\quad a > 0,a \ne 1, \\ b > 0,\quad b \ne 1 \\ \end{array}$$
$$\quad $$ $$ \begin{array}{l} \log _{a^m } b = \frac{1}{m}\log _a b,m \in R \\ a^m > 0,\quad a^m \ne 1,\quad b > 0 \\ \end{array}$$ $$\quad $$ $$ \begin{array}{l} a^{\log _c b} = b^{\log _c a} ,a > 0,a \ne 1, \\ b > 0,\quad c > 0,\quad c \ne 1 \\ \end{array}$$

Преобразование и сравнения логарифмических выражений:

Выразить $$ \log _m n$$ через $$ a = \log _c k$$: $$ \log _m n = \frac{{\log _c n}}{{\log _c m}} = \frac{{\log _c c^z k^t }}{{\log _c c^x k^y }} = \frac{{z + t \cdot a}}{{x + y \cdot a}}$$

Сравнения:

$$ \log _a b > 0\; \Leftrightarrow \;(a > 1\; и \;b > 1)\; или \;(a < 1\; и \;b < 1)$$

$$ \log _a b < 0\; \Leftrightarrow \;(a > 1\; и \;b < 1)\; или \;(a < 1\; и \;b > 1)$$

2017-01-14 19:55:20