Метод замены множителей

Утверждение. Если область пределения, нули и промежутки знакопостоянства функций $$ f(x) $$ и $$ f_1 (x) $$ совпадают, то иногда бывает выгодно вместо неравенства $$ f(x) \cdot g(x) \vee 0$$ решать неравенство $$ f_1 (x) \cdot g(x) \vee 0 $$

Замечание. Чаще всего используют четыре пары таких функций, где будем считать для простоты изложения $$ f\left( x \right) = f $$: $$ a^f \leftrightarrow f,\quad a > 1 $$, $$ \log _a f \leftrightarrow f,\quad a > 1 $$, $$ \left| f \right| \leftrightarrow f^2$$, $$ \sqrt[n]{f} \leftrightarrow f $$

Теорема 1. $$ f = a^{p\left( x \right)} - a^{m\left( x \right)} \Leftrightarrow g = p(x) - m(x),\quad a > 1 $$

Пример 1. $$ \frac{{7^{3x^2 + 5x - 11} - 7^{ - x^2 - 3x + 10} }}{{3^{x^2 - 3} - 3^{2x} }} \le 0 $$

Решение: $$\frac{{3x^2 + 5x - 11 + x^2 + 3x - 10}}{{x^2 - 3 - 2x}} \le 0 \Leftrightarrow \frac{{4x^2 + 8x - 21}}{{x^2 - 2x - 3}} \le 0$$ Решим неравенство, методом интервалов, разложив выражение числителя и знаменателя на множители: $$ \frac{{4x^2 + 8x - 21}}{{x^2 - 2x - 3}} \le 0 \Leftrightarrow \frac{{\left( {x - 1,5} \right)\left( {x + 3,5} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 1} \right)}} \le 0 \Leftrightarrow $$ $$ \left\{ \begin{array}{l} \left( {x - 1,5} \right)\left( {x + 3,5} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right) \le 0; \\ \left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right) \ne 0. \\ \end{array} \right. $$ . Ответ: $$ x \in \left[ { - 3,5; - 1} \right) \cup \left[ {1,5;3} \right) $$

Теорема 2. $$ f = \left| {p\left( x \right)} \right| - \left| {m\left( x \right)} \right| \Leftrightarrow g = p^2 \left( x \right) - m^2 \left( x \right)$$

Пример 2. $$ \frac{{\left| {2x - 1} \right| - \left| {5x + 4} \right|}}{{\left| {2,5x^2 + 2x - 4,5} \right| - \left| { - 1,5x^2 + 3x - 1,5} \right|}} \ge 0 $$

Решение: $$ \frac{{\left( {2x - 1} \right)^2 - \left( {5x + 4} \right)^2 }}{{\left( {2,5x^2 + 2x - 4,5} \right)^2 - \left( { - 1,5x^2 + 3x - 1,5} \right)^2 }} \ge 0 $$. Разложим выражения в числителе и знаменателе на множители, применяя формулу разности квадратов: $$ \frac{{\left( {3x + 5} \right)\left( {7x + 3} \right)}}{{\left( {x^2 + 5x - 6} \right)\left( {4x^2 - x - 3} \right)}} \ge 0$$ Решим неравенство методом интервалов: $$ \frac{{\left( {3x + 5} \right)\left( {7x + 3} \right)}}{{\left( {x^2 + 5x - 6} \right)\left( {4x^2 - x - 3} \right)}} \ge 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left( {3x + 5} \right)\left( {7x + 3} \right)\left( {x^2 + 5x - 6} \right)\left( {4x^2 - x - 3} \right) \ge 0; \\ \left( {x^2 + 5x - 6} \right) \ne 0; \\ \left( {4x^2 - x - 3} \right) \ne 0. \\ \end{array} \right. $$ . Ответ: $$ x \in \left( { - \infty ; - 6} \right) \cup \left[ { - \frac{5}{3}; - \frac{3}{4}} \right) \cup \left[ { - \frac{3}{7};1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right) $$

Теорема 3. При нечетной степени корня равенство $$ f = \sqrt[n]{{p\left( x \right)}} - \sqrt[n]{{m\left( x \right)}} \Leftrightarrow g = p\left( x \right) - m\left( x \right) $$ выполняется без условий. При четной степени корня добавляется условие: ОДЗ $$ D\left( g \right) = \left\{ \begin{array}{l} p\left( x \right) \ge 0; \\ g\left( x \right) \ge 0. \\ \end{array} \right.$$

Пример 3. $$ \frac{{\sqrt {2x^2 - 7x + 6} - \sqrt {5x^2 - 4x - 12} }}{{\sqrt[5]{{x^2 + 10x + 9}} - \sqrt[5]{{3x^2 + 5x - 2}}}} < 0 $$

Решение: $$ \left\{ \begin{array}{l} \frac{{\left( {2x^2 - 7x + 6} \right) - \left( {5x^2 - 4x - 12} \right)}}{{\left( {x^2 + 10x + 9} \right) - \left( {3x^2 + 5x - 2} \right)}} < 0; \\ \left\{ \begin{array}{l} 5x^2 - 4x - 12 \ge 0; \\ 2x^2 - 7x + 6 \ge 0. \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{{x^2 + x - 6}}{{2x^2 - 5x - 11}} < 0 \\ \left\{ \begin{array}{l} 5x^2 - 4x - 12 \ge 0; \\ 2x^2 - 7x + 6 \ge 0. \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right.$$ Решим неравенство методом интервалов $$ \left\{ \begin{array}{l} \frac{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - \frac{{5 - \sqrt {113} }}{4}} \right)\left( {x - \frac{{5 + \sqrt {113} }}{4}} \right)}} < 0; \\ \left\{ \begin{array}{l} \left( {x - 1,5} \right)\left( {x - 2} \right) \ge 0; \\ \left( {x + 1,2} \right)\left( {x - 2} \right) \ge 0. \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} - 3 < x < \frac{{5 - \sqrt {113} }}{4} \\ 2 < x < \frac{{5 + \sqrt {113} }}{4} \\ \end{array} \right. \\ \left[ \begin{array}{l} x \le - 1,5 \\ x \ge 2 \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right. $$ . Ответ: $$ x \in \left( { - 3; - 1,5} \right] \cup \left[ {2;\frac{{5 + \sqrt {113} }}{4}} \right) $$

Теорема 4. $$ f = \log _a p\left( x \right) - \log _a m\left( x \right) \Leftrightarrow g = p\left( x \right) - m\left( x \right),\quad a > 1$$ и $$ D\left( g \right) = \left\{ \begin{array}{l} p\left( x \right) > 0; \\ g\left( x \right) > 0. \\ \end{array} \right.$$

Пример 4. $$ \frac{{\log _7 12}}{{\log _7 \left( {x^2 - 9} \right)}} > \frac{{\log _5 \left( {x^2 + 8x + 12} \right)}}{{\log _5 \left( {x^2 - 9} \right)}}$$

Решение: $$ \frac{{\log _7 12}}{{\log _7 \left( {x^2 - 9} \right)}} - \frac{{\log _5 \left( {x^2 + 8x + 12} \right)}}{{\log _5 \left( {x^2 - 9} \right)}} > 0$$ $$ \Leftrightarrow $$ $$ \log _{\left( {x^2 - 9} \right)} 12 - \log _{\left( {x^2 - 9} \right)} \left( {x^2 + 8x + 12} \right) > 0] $$$$ \Leftrightarrow $$ $$ \log _{\left( {x^2 - 9} \right)} \frac{{12}}{{x^2 + 8x + 12}} > 0$$ $$ \Leftrightarrow $$ $$ \frac{{\ln \frac{{12}}{{x^2 + 8x + 12}}}}{{\ln \left( {x^2 - 9} \right)}} > 0$$ $$ \Leftrightarrow $$ $$ \frac{{\ln \frac{{12}}{{x^2 + 8x + 12}} - \ln 1}}{{\ln \left( {x^2 - 9} \right) - \ln 1}} > 0 $$. По теореме ? 4 заменим разности логарифмических функций в числителе и знаменателе на разности функций, находящихся под знаком логарифма. $$ \frac{{\frac{{12}}{{x^2 + 8x + 12}} - 1}}{{x^2 - 9 - 1}} > 0$$ $$ \Leftrightarrow $$ $$ \frac{{x\left( {x + 8} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 6} \right)\left( {x - \sqrt {10} } \right)\left( {x + \sqrt {10} } \right)}} < 0 $$ $$ \Leftrightarrow $$ $$ x\left( {x + 8} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 6} \right)\left( {x + \sqrt {10} } \right)\left( {x - \sqrt {10} } \right) < 0 $$. Ответ: $$ x \in \left( { - 8; - 6} \right) \cup \left( {3;\sqrt {10} } \right) $$

2017-08-08 01:14:06