Преобразование тригонометрических выражений: примеры и достаточные знания, необходимые для решения заданий

Задания
Достаточные знания свойств
Формулы
$$\quad $$ $$\frac{{\sin 2\alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{{2\sin \alpha \cdot \cos \alpha }}{{\sin \alpha }}$$ Формулы разложения на множители синуса двойного угла $$ \sin 2\alpha$$ $$\quad $$ $$ \sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha $$
$$\quad $$ $$tg\alpha \cdot \sin \left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right) = tg\alpha \cdot \cos \alpha $$ Одна из формул приведения $$\sin \left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right)$$ $$\quad $$ $$\sin \left( {\frac{\pi }{2} \pm \alpha } \right) = \cos \alpha $$
$$\quad $$ $$tg\alpha \cdot \cos \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} \cdot \cos \alpha = \sin \alpha $$ Свойство тангенса числа $$tg\alpha$$ $$\quad $$ $$tg\alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}$$
$$\quad $$ $$\sin \left( {\alpha + 2\pi } \right) + tg\alpha = \sin \alpha + tg\alpha $$ Свойство периодичности функции синус $$\quad $$ $$\sin \left( {\alpha + 2\pi n} \right) = \sin \alpha ,n \in Z$$
$$\quad $$ $$tg\left( {\frac{{3\pi }}{2} - \alpha } \right) \cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha = ctg\alpha \cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha $$ Одна из формул приведения $$tg\left( {\frac{{3\pi }}{2} - \alpha } \right)$$ $$\quad $$ $$tg\left( {\frac{{3\pi }}{2} \pm \alpha } \right) = \mp ctg\alpha $$
$$\quad $$ $$ctg\alpha \cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} \cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha = \cos ^2 \alpha $$ Свойство котангенса числа $$ctg\alpha$$ $$\quad $$ $$ctg\alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}$$
$$\quad $$ $$\sin \alpha - \cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \sin \alpha - \sin \alpha = 0$$ Одна из формул приведения $$\sin \left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right)$$ $$\quad $$ $$\cos \left( {\frac{\pi }{2} \pm \alpha } \right) = \mp \sin \alpha $$
$$\quad $$ $$\frac{{\cos 2\alpha }}{{\cos \alpha + \sin \alpha }} = \frac{{\cos ^2 \alpha - \sin ^2 \alpha }}{{\cos \alpha + \sin \alpha }} = \cos \alpha - \sin \alpha $$ Формулы разложения на множители косинуса двойного угла $$ \cos 2\alpha $$ $$\quad $$ $$ \begin{array}{l} \cos 2\alpha = \cos ^2 \alpha - \sin ^2 \alpha = \\ = \left( {\cos \alpha - \sin \alpha } \right)\left( {\cos \alpha + \sin \alpha } \right) \\ \end{array}$$

Пример. Упростите выражение $$\sin \alpha \sin 2\alpha + \cos \left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right) - \cos \alpha \cos 2\alpha $$

Решение: $$\sin \alpha \sin 2\alpha + \cos \left( {\frac{\pi }{2} + 3\alpha } \right) - \cos \alpha \cos 2\alpha = \left( {\sin \alpha \sin 2\alpha - \cos \alpha \cos 2\alpha } \right) + \cos \left( {\frac{\pi }{2} + 3\alpha } \right) $$ $$ = \cos \left( {2\alpha + \alpha } \right) - \sin 3\alpha = \cos 3\alpha - \sin 3\alpha $$

Для решения используем последовательно знания следующих свойств:

  • Формула $$\sin \alpha \sin \beta - \cos \alpha \cos \beta $$ косинуса суммы двух углов $$\alpha $$ и $$\beta $$
  • Одна из формул приведения $$\cos \left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right)$$
2017-01-14 00:35:50