Дробная часть действительного числа

Дробная часть числа. Дробной частью числа a называется число, равное $$ a - \left[ a \right]$$ и обозначаемое $$ \left\{ a \right\}$$, то тесть $$ \left\{ a \right\} = a - \left[ a \right]$$.

Например: $$ \left\{ { - 0,3} \right\} = 0,7\quad \left\{ { - 0,5} \right\} = 0,5\quad \left\{ 1 \right\} = 0\quad \left\{ {\sqrt 3 } \right\} = \sqrt 3 - 1\quad \left\{ { - 2\sqrt 2 } \right\} = 2 - \sqrt 2 $$

Замечание. Любое число a можно представить в виде $$ a = \left[ a \right] + \left\{ a \right\}$$.

Свойство 1. Равенство$$ \left\{ a \right\} = a $$ равносильно тому, что $$ 0 \le a < 1 $$

Свойство 2. Равенство $$ \left\{ a \right\} = \left\{ b \right\}$$ верно тогда и только тогда, когда $$ a - b = n,\quad n \in Z$$

Свойство 3. Равенство $$ \left\{ {a + 1} \right\} = \left\{ a \right\}$$ верно для любого a

дробная часть числа функция расстояния
График фукнкции $$ y = \left\{ x \right\}$$ состоит из напрывленных отрезков, идущих из нижнего левого угла квадрата в верхний правый угол квадрата. Эта функция переодическая с периродом 1. График фукнкции $$ y = \left\{ {\left\{ x \right\}} \right\}$$ это растояние от x до ближайшего целого числа. Это фукция непрерывна и переодическая с периодом 1.

Замечание. Решая уравнение $$ \left[ x \right] = a $$ получаем ответ в виде неравенства $$ a \le x < a + 1 $$.

2017-08-08 19:49:05