Преобразование степеней: примеры и достаточные знания свойств, необходимые для решения заданий

Задания
Достаточные знания
Формулы

$$\quad $$ $$64^{\frac{1}{4}} = (4^4 )^{\frac{1}{4}}$$

Свойство степени an c натуральным показателем
$$\quad $$ $$a^n = \underbrace {a \cdot a \cdot a... \cdot a}_n$$
$$\quad $$ $$(3 \cdot \sqrt 5 )^2 = 3^2 \cdot (\sqrt 5 )^2 $$ Свойства степени произведения $$(a \cdot b)^n $$ $$\quad $$ $$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n $$
$$\quad $$ $$(7^{\frac{1}{3}} )^3 = 7^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 7$$ Свойства степени $$(a^m )^n $$, основанием $$a^m $$ которой является степень $$\quad $$ $$(a^m )^n = (a^n )^m = a^{n \cdot m} $$
$$\quad $$ $$(\sqrt 5 )^2 = 5$$ Cвойства степени арифметического $$(\sqrt[n]{a})^n $$ корня $$\quad $$ $$(\sqrt[n]{a})^n = a$$
$$\quad $$ $$\sqrt[3]{{125}} = \sqrt[3]{{5^3 }} = 5$$ Свойства арифметического корня с нечетным показателем из $$\sqrt[{2n + 1}]{{a^{2n + 1} }}$$ степени с нечетным показателем $$\quad $$ $$\sqrt[{2k + 1}]{{a^{2k + 1} }} = a,\quad k \in N$$
$$\quad $$ $$\sqrt[4]{{16}} = \sqrt[4]{{( \pm 2)^4 }} = \left| { \pm 2} \right|$$ Свойства арифметического корня с четным показателем $$\sqrt[{2n}]{{a^{2n} }}$$ из степени с четным показателем $$\quad $$ $$\sqrt[{2k}]{{a^{2k} }} = \left| a \right|,a \in R,n \in N$$
$$\quad $$ $$\sqrt[4]{{16}} = \sqrt[4]{{( \pm 2)^4 }} = \left| { \pm 2} \right| = 2$$ Свойство модуля числа a $$\quad $$ $$\left| a \right| = \left[ \begin{array}{l} a,\quad a \ge 0; \\ - a,\quad a < 0. \\ \end{array} \right.$$
$$\quad $$ $$\sqrt[3]{{25}} \cdot \sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{{25 \cdot 5}} = \sqrt[3]{{5^3 }} = 5$$ Свойства произведения корней $$\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$$ с одинаковыми показателями $$\quad $$ $$\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{{a \cdot b}}$$
$$\quad $$ $$2^{0,25} = 2^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{2}$$ Свойства степени $$a^{\frac{m}{n}} $$ с дробным показателем $$\quad $$ $$\begin{array}{l} a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{{a^m }},a > 0, \\ n \ge 2,n \in N,m \in Z \\ \end{array}$$
$$\quad $$ $$\sqrt[4]{{32}}:\sqrt[4]{4} = \sqrt[4]{{32:4}} = \sqrt[4]{{2^4 }} = 2$$ Свойства частного корней $$\frac{{\sqrt[n]{a}}}{{\sqrt[n]{b}}}$$ с одинаковыми показателями $$\quad $$ $$\frac{{\sqrt[n]{a}}}{{\sqrt[n]{b}}} = \sqrt[n]{{\frac{a}{b}}},b \ne 0$$
$$\quad $$ $$3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{6}} \cdot 3^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{3}} = 3^{\frac{{3 + 1 + 2}}{6}} = 3$$ Свойства произведения степеней $$ a^m \cdot a^n $$ с одинаковыми основаниями $$\quad $$ $$a^m \cdot a^n = a^{n + m} $$
$$\quad $$ $$\left( {\frac{1}{4}} \right)^{ - 2} = 4^2 = 16$$ Свойства степени $$\left( {\frac{a}{b}} \right)^{ - n} $$ с отрицательным целым показателем $$\quad $$ $$\begin{array}{l} \left( {\frac{a}{b}} \right)^{ - n} = \left( {\frac{b}{a}} \right)^n , \\ a \ne 0,b \ne 0,n \in Z \\ \end{array}$$
$$\quad $$ $$\left( {\frac{1}{{16}}} \right)^{ - \frac{3}{2}} = 16^{\frac{3}{2}} = (\sqrt {16} )^3 = 4^3 $$ Свойства степени $$\left( {\frac{a}{b}} \right)^{ - \frac{m}{n}} $$ с отрицательным дробным показателем $$\quad $$ $$\begin{array}{l} \left( {\frac{a}{b}} \right)^{ - \frac{m}{n}} = \left( {\frac{b}{a}} \right)^{\frac{m}{n}} , \\ a \cdot b > 0,n \ge 2,n \in N \\ \end{array}$$

Пример. Найдите значение выражения $$256^{\frac{1}{4}} - 5\sqrt 5 \cdot 5^{\frac{1}{2}} $$

Решение: $$256^{\frac{1}{4}} - 5\sqrt 5 \cdot 5^{\frac{1}{2}} = \sqrt[4]{{256}} - 5 \cdot 5^{\frac{1}{2}} \cdot 5^{\frac{1}{2}} = \sqrt[4]{{( \pm 4)^4 }} - 5^{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = \left| { \pm 4} \right| - 5^2 = 4 - 25 = - 21$$

Для решения используем последовательно знания следующих свойств:

  • Свойство степени $$a^{\frac{m}{n}} $$ с дробным показателем
  • Свойство степени an c натуральным показателем
  • Свойства арифметического корня с четным показателем $$\sqrt[{2n}]{{a^{2n} }}$$ из степени с четным показателем
  • Свойства произведения корней $$\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$$ с одинаковыми показателями
  • Свойство модуля числа a
2017-08-08 08:25:04