Задания |
Достаточные знания |
Формулы |
$$\quad $$ $$64^{\frac{1}{4}} = (4^4 )^{\frac{1}{4}}$$ |
Свойство степени an c натуральным показателем |
$$\quad $$ $$a^n = \underbrace {a \cdot a \cdot a... \cdot a}_n$$ |
| $$\quad $$ $$(3 \cdot \sqrt 5 )^2 = 3^2 \cdot (\sqrt 5 )^2 $$ | Свойства степени произведения $$(a \cdot b)^n $$ | $$\quad $$ $$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n $$ |
| $$\quad $$ $$(7^{\frac{1}{3}} )^3 = 7^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 7$$ | Свойства степени $$(a^m )^n $$, основанием $$a^m $$ которой является степень | $$\quad $$ $$(a^m )^n = (a^n )^m = a^{n \cdot m} $$ |
| $$\quad $$ $$(\sqrt 5 )^2 = 5$$ | Cвойства степени арифметического $$(\sqrt[n]{a})^n $$ корня | $$\quad $$ $$(\sqrt[n]{a})^n = a$$ |
| $$\quad $$ $$\sqrt[3]{{125}} = \sqrt[3]{{5^3 }} = 5$$ | Свойства арифметического корня с нечетным показателем из $$\sqrt[{2n + 1}]{{a^{2n + 1} }}$$ степени с нечетным показателем | $$\quad $$ $$\sqrt[{2k + 1}]{{a^{2k + 1} }} = a,\quad k \in N$$ |
| $$\quad $$ $$\sqrt[4]{{16}} = \sqrt[4]{{( \pm 2)^4 }} = \left| { \pm 2} \right|$$ | Свойства арифметического корня с четным показателем $$\sqrt[{2n}]{{a^{2n} }}$$ из степени с четным показателем | $$\quad $$ $$\sqrt[{2k}]{{a^{2k} }} = \left| a \right|,a \in R,n \in N$$ |
| $$\quad $$ $$\sqrt[4]{{16}} = \sqrt[4]{{( \pm 2)^4 }} = \left| { \pm 2} \right| = 2$$ | Свойство модуля числа a | $$\quad $$ $$\left| a \right| = \left[ \begin{array}{l} a,\quad a \ge 0; \\ - a,\quad a < 0. \\ \end{array} \right.$$ |
| $$\quad $$ $$\sqrt[3]{{25}} \cdot \sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{{25 \cdot 5}} = \sqrt[3]{{5^3 }} = 5$$ | Свойства произведения корней $$\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$$ с одинаковыми показателями | $$\quad $$ $$\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{{a \cdot b}}$$ |
| $$\quad $$ $$2^{0,25} = 2^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{2}$$ | Свойства степени $$a^{\frac{m}{n}} $$ с дробным показателем | $$\quad $$ $$\begin{array}{l} a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{{a^m }},a > 0, \\ n \ge 2,n \in N,m \in Z \\ \end{array}$$ |
| $$\quad $$ $$\sqrt[4]{{32}}:\sqrt[4]{4} = \sqrt[4]{{32:4}} = \sqrt[4]{{2^4 }} = 2$$ | Свойства частного корней $$\frac{{\sqrt[n]{a}}}{{\sqrt[n]{b}}}$$ с одинаковыми показателями | $$\quad $$ $$\frac{{\sqrt[n]{a}}}{{\sqrt[n]{b}}} = \sqrt[n]{{\frac{a}{b}}},b \ne 0$$ |
| $$\quad $$ $$3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{6}} \cdot 3^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{3}} = 3^{\frac{{3 + 1 + 2}}{6}} = 3$$ | Свойства произведения степеней $$ a^m \cdot a^n $$ с одинаковыми основаниями | $$\quad $$ $$a^m \cdot a^n = a^{n + m} $$ |
| $$\quad $$ $$\left( {\frac{1}{4}} \right)^{ - 2} = 4^2 = 16$$ | Свойства степени $$\left( {\frac{a}{b}} \right)^{ - n} $$ с отрицательным целым показателем | $$\quad $$ $$\begin{array}{l} \left( {\frac{a}{b}} \right)^{ - n} = \left( {\frac{b}{a}} \right)^n , \\ a \ne 0,b \ne 0,n \in Z \\ \end{array}$$ |
| $$\quad $$ $$\left( {\frac{1}{{16}}} \right)^{ - \frac{3}{2}} = 16^{\frac{3}{2}} = (\sqrt {16} )^3 = 4^3 $$ | Свойства степени $$\left( {\frac{a}{b}} \right)^{ - \frac{m}{n}} $$ с отрицательным дробным показателем | $$\quad $$ $$\begin{array}{l} \left( {\frac{a}{b}} \right)^{ - \frac{m}{n}} = \left( {\frac{b}{a}} \right)^{\frac{m}{n}} , \\ a \cdot b > 0,n \ge 2,n \in N \\ \end{array}$$ |
Пример. Найдите значение выражения $$256^{\frac{1}{4}} - 5\sqrt 5 \cdot 5^{\frac{1}{2}} $$
Решение: $$256^{\frac{1}{4}} - 5\sqrt 5 \cdot 5^{\frac{1}{2}} = \sqrt[4]{{256}} - 5 \cdot 5^{\frac{1}{2}} \cdot 5^{\frac{1}{2}} = \sqrt[4]{{( \pm 4)^4 }} - 5^{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = \left| { \pm 4} \right| - 5^2 = 4 - 25 = - 21$$
Для решения используем последовательно знания следующих свойств: