Пример 1. Найдите все значения a, при которых система $$\left\{ \begin{array}{l} ax - y + x = a, \\ a\left( {x + y} \right) - 3x = - 9. \\ \end{array} \right.$$ имеет единственное решение.

Решение: $$\left\{ \begin{array}{l} ax - y + x = a, \\ a\left( {x + y} \right) - 3x = - 9. \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow $$ $$\left\{ \begin{array}{l} \left( {a + 1} \right)x - y = a, \\ \left( {a - 3} \right)x + ay = - 9. \\ \end{array} \right.$$. Система имеет единственное решение если $$\frac{{a + 1}}{{a - 3}} \ne - \frac{1}{a} \Leftrightarrow a\left( {a + 1} \right) \ne - \left( {a - 3} \right) \Leftrightarrow a^2 + 2a - 3 \ne 0 \Rightarrow a \ne - 3,\quad a \ne 1$$

Ответ: $$a \in \left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( { - 3;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$$

Для решения используем последовательно знания следующих свойств:

• Система вида $$\left\{ \begin{array}{l} a_1 x + b_1 y = c_1 ; \\ a_2 x + b_2 y = c_2 . \\ \end{array} \right.$$ имеет единственное решение, если $$\frac{{a_1 }}{{a_2 }} \ne \frac{{b_1 }}{{b_2 }}$$
• Равносильность уравнений $$\frac{{f(x)}}{{g(x)}} \ne \frac{{f_1 (x)}}{{g_1 (x)}} \Leftrightarrow f(x) \cdot g_1 (x) \ne f_1 (x) \cdot g(x),\quad g(x) \ne 0,\quad g_1 (x) \ne 0$$

Пример 2. Найдите все значения a, при которых система $$\left\{ \begin{array}{l} 2x - ay - 2 = a, \\ xa + x + 2ay - 4 = 2a. \\ \end{array} \right.$$ имеет бесконечно много решений.

Решение: $$\left\{ \begin{array}{l} 2x - ay - 2 = a; \\ xa + x + 2ay - 4 = 2a. \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2x - ay = a + 2; \\ x\left( {a + 1} \right) + 2ay = 2a + 4. \\ \end{array} \right.$$

Система имеет бесконечно много решений, если $$\frac{2}{{a + 1}} = \frac{a}{{2a}} = \frac{{a + 2}}{{2a + 4}}$$

Решим пропорцию $$\frac{2}{{a + 1}} = \frac{a}{{2a}} \Leftrightarrow \frac{2}{{a + 1}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow 4 = a + 1 \Leftrightarrow a = 3$$

Ответ: a = 3

Для решения используем последовательно знания следующих свойств:

• Система вида $$\left\{ \begin{array}{l} a_1 x + b_1 y = c_1 , \\ a_2 x + b_2 y = c_2 , \\ \end{array} \right.$$ имеет бесконечное множество решений, если $$\frac{{a_1 }}{{a_2 }} = \frac{{b_1 }}{{b_2 }} = \frac{{c_1 }}{{c_2 }}$$
• Основное свойство пропорции: $$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Leftrightarrow a \cdot d = b \cdot c,\quad b,\;d \ne 0$$
• Основное свойство дроби: $$\frac{a}{b} = \frac{{a:m}}{{b:m}} = \frac{{a \cdot k}}{{b \cdot k}},\quad m,\;k \ne 0$$

Пример 3. Найдите все значения a, при которых система $$\left\{ \begin{array}{l} 2x - ay - a = - 1, \\ xa + x + 3y - 4 = 0. \\ \end{array} \right.$$ не имеет решений.

Решение: $$\left\{ \begin{array}{l} 2x - ay - a = - 1; \\ xa + x + 3y - 4 = 0. \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2x - ay - a = - 1; \\ x\left( {a + 1} \right) + 3y = 4. \\ \end{array} \right.$$

Система не имеет решений, если $$\frac{2}{{a + 1}} = \frac{a}{3} \ne \frac{{1 - a}}{4}$$

Решим пропорцию $$\frac{2}{{a + 1}} = \frac{a}{3} \Leftrightarrow 6 = a^2 + a \Leftrightarrow $$ $$a^2 + a - 6 = 0 \Rightarrow a_1 = - 3,a_2 = 2$$

Проверим выполнения условия $$\frac{a}{3} \ne \frac{{1 - a}}{4}$$ для каждого значения $$a_1 = - 3,\quad a_2 = 2$$

При a = 2 выполняется условие $$\frac{a}{3} \ne \frac{{1 - a}}{4}$$

Ответ: a = 2

Для решения используем последовательно знания следующих свойств:

• Система вида $$\left\{ \begin{array}{l} a_1 x + b_1 y = c_1 ; \\ a_2 x + b_2 y = c_2 , \\ \end{array} \right.$$ не имеет решений, если $$\frac{{a_1 }}{{a_2 }} = \frac{{b_1 }}{{b_2 }} \ne \frac{{c_1 }}{{c_2 }}$$
• Основное свойство пропорции: $$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Leftrightarrow a \cdot d = b \cdot c,\quad b,\;d \ne 0$$