Допустимые значения выражения

Алгебраическое выражение. Алгебраическое выражение F(x) - формула, содержащая числа, буквенные переменные, скобки а также знаки математических действий: сложения, вычитания, деления, извлечения корня, возведения в степень, логарифмирования.

Замечанмие. Если в выражении имеются только числа, оно называется числовым, если же выражение содержит и буквенные переменные, то оно называется выражение с переменными. Значения аргументов, при которых выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями.

Корень выражения. Корнем выражения F(x) называют такое значение аргумента $$x_0 $$, при котором числовое значение выражения F($$x_0 $$) будет равняться 0. Нахождение корней выражения F (x) сводится к решению уравнения F (x) = 0 относительно неизвестной x.

Допустимые значения выражения. Множество всех допустимых значений аргументов выражения называют его областью допустимых значений и обозначают ОДЗ(F).

При определении области допустимых значений ОДЗ(F) исключают те значения аргументов, при которых:

  • хотя бы один из имеющихся в выражении знаменателей обращается в нуль;
  • выражение под корнем четной степени отрицательно;
  • выражение под знаком логарифма отрицательно или основание логарифма равно 0 или 1;
  • модуль аргумента выражения с обратными тригонометрическими функциями arcsinx, arccosx больше 1;
  • тангенс и котангенс не определены;
  • выражение в отрицательной нецелой степени не больше 0;
  • не удовлетворяются условия задачи.

Можно области допустимых значений алгебраических выражений ОДЗ(F) описать так: для

  • рациональных: $$\frac{{A(x)}}{{B(x) \ne 0}}$$
  • иррациональных: $$\sqrt[{2k}]{{C(x) \ge 0}}$$
  • логарифмических: $$\log _{\left\{ {\scriptstyle a(x) > 0; \atop \scriptstyle a(x) \ne 1} \right.} (b(x) > 0)$$
  • степенных: $$ \left( {d(x) > 0} \right)^{ - \frac{m}{n}} > 0,\;n \in N,\;m \in Z $$
  • обратных тригонометрических: $$\left| {\arcsin x} \right| \le 1;\quad \left| {\arccos x} \right| \le 1$$
  • тригонометрических: $$tgx,\quad x \ne \frac{\pi }{2} + \pi n,\;n \in Z;\;ctgx,\quad x \ne \pi n,\;n \in Z$$
  • решения текстовых задач: длины отрезков, пройденный путь, время движения, скорость и ускорение движения и т. д. - величины положительные