Иррациональные уравнения

Иррациональное уравнение. Иррациональным называют уравнение вида $$\sqrt[n]{{f(x)}} = g(x),\;\quad n \in N,\;\quad n \ne 1$$.

Основной метод решения иррациональных уравнений - метод уединение радикала

1. При решении иррационального уравнения с радикалом четной степени:

Проверка полученных решений (x1, x2, :) путем их подстановки в исходное уравнение:

  • если исходное уравнение превращается в верное равенство, то полученные значения являются корнями уравнения;
  • если исходное уравнение превращается в неверное равенство, то полученные значения являются посторонними корнями уравнения

Введение ограничения на неизвестную в виде условия $$g(x) \ge 0$$:

  • условие неотрицательности правой части исходного уравнения, поскольку его левая часть по определению корней четной степени неотрицательна;
  • при введении ограничения на неизвестную величину исходного уравнения $$\sqrt[{2k}]{{f(x)}} = g(x)$$ сводится к решению системы $$\left\{ \begin{array}{l} f(x) = g^{2k} (x); \\ g(x) \ge 0. \\ \end{array} \right.$$

2. При решении иррационального уравнения с радикалом нечетной степени возведение в нечетную степень правой и левой части уравнения всегда приводит к равносильному уравнению и потеря корней или их приобретения происходить не может.

Метод подстановки решения иррациональных уравнений

Решение иррациональных уравнений вида $$\sqrt[n]{{ax + b}} = cx + d$$. Обозначим $$\sqrt[n]{{ax + b}} = y,\quad y \ge 0$$. Получим $$\left( {\sqrt[n]{{ax + b}}} \right)^n = y^n ,\quad ax + b = y^n \Rightarrow x = \frac{{y^n - b}}{a}$$. Подставим в уравнение $$\sqrt[n]{{ax + b}} = cx + d$$ выражения $$\sqrt[n]{{ax + b}} = y$$ и $$x = \frac{{y^n - b}}{a}$$ получим систему $$\left\{ \begin{array}{l} y = \sqrt[n]{{ax + b}},\quad y \ge 0; \\ y = c\left( {\frac{{y^n - b}}{a}} \right) + d. \\ \end{array} \right.$$

2017-01-14 02:52:50