Ключевые слова: замена переменных, степенная замена, замена многочлена, дробно-рациональная замена, возвратные уравнения
Наиболее часто встречающиеся типы замен.
Замена y = x n ( степенная замена ) В частности, с помощью замены y = x 2 так называемое биквадратное уравнение ax 4 + bx 2 + c = 0, a $$\ne$$ 0 приводится к квадратному.
Замена y = Pn(x) или $$y = \sqrt{P_{n}(x)}$$ (замена многочлена). Чаще всего встречается замена $$y = ax^{2} + bx + c$$ или $$y = \sqrt{ax^{2} + bx + c}$$.
Замена $$y = \frac{P_{n}(x)}{Q_{m}(x)}$$ (дробно-рациональная замена). Здесь, как и всегда, $$P_{n}(x)$$ и $$Q_{m}(x)$$ - многочлены степеней n и m соответственно.
В частности, с помощью широко распространенной замены $$y = x + \frac{1}{x}$$ решаются так называемые
возвратные
уравнения,
то есть уравнения вида ax
4
+
bx 3
+
cx 2
+
bx
+
a
= 0,
a
$$\ne$$ 0.
Так как
a
$$\ne$$ 0, то число
x
= 0 не является корнем этого уравнения.
Разделим уравнение ax
4
+
bx 3
+
cx 2
+
bx
+
a
= 0 на
x 2 $$\ne$$ 0, получим
$$ax^{2} + bx + c + \frac{b}{x} + \frac{a}{x^{2}}= 0 $$ и далее приведем к виду $$a(x^{2} + \frac{1}{x^{2}}) + b(x + \frac{1}{x}) + c = 0$$.
А так как $$(x^{2} + \frac{1}{x^{2}}) = (x + \frac{1}{x})^{2} - 2$$, то после замены $$y = x + \frac{1}{x}$$ уравнение сводится к квадратному $$ay^{2} + by + c - 2a = 0$$.
Замечание 1. Замену переменных нужно делать сразу, при первой же возможности.
Замечание 2. Уравнение относительно новой переменной нужно решать до конца, и лишь затем возвращаться к старому неизвестному.
Пример. Решите уравнение ( x 2 + x + 1)( x 2 + x + 2) = 12.
Решение. Сделаем замену переменных $$t = x^{2} + x + 1$$. В терминах новой неизвестной уравнение имеет вид $$t( t + 1)= 12 \Leftrightarrow t^{2} + t -12 = 0$$.