Замена переменных в уравнении

Ключевые слова: замена переменных, степенная замена, замена многочлена, дробно-рациональная замена, возвратные уравнения

Наиболее часто встречающиеся типы замен.

  • Замена y = x n ( степенная замена ) В частности, с помощью замены y = x 2 так называемое биквадратное уравнение ax 4 + bx 2 + c = 0, a $$\ne$$ 0 приводится к квадратному.

  • Замена y = Pn(x) или $$y = \sqrt{P_{n}(x)}$$ (замена многочлена). Чаще всего встречается замена $$y = ax^{2} + bx + c$$ или $$y = \sqrt{ax^{2} + bx + c}$$.

  • Замена $$y = \frac{P_{n}(x)}{Q_{m}(x)}$$ (дробно-рациональная замена). Здесь, как и всегда, $$P_{n}(x)$$ и $$Q_{m}(x)$$ - многочлены степеней n и m соответственно.

  • В частности, с помощью широко распространенной замены $$y = x + \frac{1}{x}$$ решаются так называемые возвратные уравнения,
    то есть уравнения вида ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0, a $$\ne$$ 0.

    Так как a $$\ne$$ 0, то число x = 0 не является корнем этого уравнения.
    Разделим уравнение ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0 на x 2 $$\ne$$ 0, получим $$ax^{2} + bx + c + \frac{b}{x} + \frac{a}{x^{2}}= 0 $$ и далее приведем к виду $$a(x^{2} + \frac{1}{x^{2}}) + b(x + \frac{1}{x}) + c = 0$$.
    А так как $$(x^{2} + \frac{1}{x^{2}}) = (x + \frac{1}{x})^{2} - 2$$, то после замены $$y = x + \frac{1}{x}$$ уравнение сводится к квадратному $$ay^{2} + by + c - 2a = 0$$.

Замечание 1. Замену переменных нужно делать сразу, при первой же возможности.

Замечание 2. Уравнение относительно новой переменной нужно решать до конца, и лишь затем возвращаться к старому неизвестному.

Пример. Решите уравнение ( x 2 + x + 1)( x 2 + x + 2) = 12.

Решение. Сделаем замену переменных $$t = x^{2} + x + 1$$. В терминах новой неизвестной уравнение имеет вид $$t( t + 1)= 12 \Leftrightarrow t^{2} + t -12 = 0$$.
Корни этого квадратного уравнения t = – 4 и t = 3. Рассмотрим два случая: 1) $$t = x^{2} + x + 1 = - 4 \Leftrightarrow x^{2} + x + 5 = 0$$. D = 1 - 20 = - 19 < 0.
Значит, это уравнение корней не имеетю 2) $$t = x^{2} + x + 1 = 3 \Leftrightarrow x^{2} + x - 2 = 0$$. Корни этого уравнения x = 1 и x = –2. Ответ. x = 1 и x = –2.
2017-01-14 06:26:16