Рациональные выражения

Ключевые слова: рациональные выражения, область значений функции, областью определения функции, рациональная функция, основное свойство рациональной дроби, сокращение дроби, преобразования рациональных выражений.

Пусть задано числовое множество $$D \in R $$. Если каждому числу $$x \in D $$ поставлено в соответствие единственное число y , то говорят, что на множестве D задана числовая функция : y = f ( x ), $$x \in D $$.

Множество D , называется областью определения функции и обозначается D ( f ( x )).

Множество, состоящее из всех элементов f ( x ), где $$x \in D $$, называется областью значений функции и обозначается E ( f ( x )).

Рациональной называется функция, которую можно представить в виде отношения двух многочленов, то есть $$f(x) = \frac{P_{n}(x)}{Q_{m}(x)}$$
где $$P_{n}(x)$$ - многочлен n -ной степени, $$Q_{m}(x)$$ - многочлен m -ной степени. Такую функцию f ( x ) ещё иногда называют рациональной дробью.

Основное свойство рациональной дроби можно выразить формулой $$\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{P(x) \cdot R(x)}{Q(x) \cdot R(x)}$$,
справедливой при $$Q(x) \ne 0 , R(x) \ne 0$$, R (x) - многочлен.

Кратко основное свойство рациональной дроби может быть выражено фразой: числитель и знаменатель рациональной дроби можно умножить и разделить на одно и то же отличное от нуля число, одночлен или многочлен.

Из основного свойства рациональной дроби следуют равенства: $$\frac{P}{Q} = -\frac{-P}{Q} = -\frac{P}{-Q} = \frac{-P}{-Q}$$.
Например, $$\frac{x-1}{2-x} = -\frac{1-x}{2-x} = \frac{1-x}{x-2} = - \frac{x-1}{x-2}$$.

Основное свойство дроби даёт возможность умножить и разделить числитель и знаменатель рациональной дроби на одно и то же выражение, отличное от нуля. Такая операция называется сокращением дроби. Для того, чтобы сократить рациональную дробь, нужно разложить её числитель и знаменатель на множители. При этом сокращение возможно, лишь если числитель и знаменатель имеют общие множители. Если же они не имеют общих множителей, то дробь сократить нельзя.

Для того, чтобы привести несколько рациональных дробей к общему знаменателю, нужно:
  • разложить числитель и знаменатель каждой дроби на множители;
  • найти общий знаменатель всех этих дробей;
  • найти дополнительные множители для каждой дроби, они получаются путем деления общего знаменателя на знаменатель каждой из дробей;
  • умножить каждую из дробей на свой дополнительный множитель.
Преобразования рациональных выражений.

Сложение. Сумма двух рациональных дробей с одинаковыми знаменателями определяется следующей формулой: $$\frac{P}{Q} + \frac{R}{Q} = \frac{P + R}{Q}$$, то есть для того, чтобы сложить две дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить тем же.

Вычитание. Разность двух рациональных дробей с одинаковыми знаменателями определяется следующей формулой: $$\frac{P}{Q} - \frac{R}{Q} = \frac{P - R}{Q}$$, то есть для того, чтобы вычесть две дроби с одинаковыми знаменателями, нужно вычесть их числители, а знаменатель оставить тем же.

Если же нужно сложить или вычесть две дроби с разными знаменателями, то сперва их следует привести к одному знаменателю и после произвести сложение и вычитание.

2017-01-15 04:56:43