Определенный интеграл и его применение

Определенным интегралом от a до b непрерывной функции $$ y = f(x)$$, определенной на интервале $$ \left[ {a;b} \right] $$, называется прирощение первообразной $$ F(x)$$ для этой функции,
то есть $$ \int\limits_a^b {f(x)dx = F(b) - F(a) = F(x)\left| {_a^b } \right.}$$.
Числа a и b называются нижним и верхним пределами интегрирования.

Основные правила и свойства определенного интеграла

$$ \int\limits_a^b {f(x)dx = \int\limits_a^b {f(t)dt} }$$

$$ \int\limits_a^a {f(x)dx} = 0 $$

$$ \int\limits_a^b {Cf(x)dx = C\int\limits_a^b {f(x)dx} }$$

$$ \int\limits_a^b {f(x)dx = - \int\limits_b^a {f(x)dx} }$$

$$ \int\limits_a^b {f(kx + l)dx = \frac{1}{k}\int\limits_{ka + l}^{kb + l} {f(t)dt} }$$

$$ \int\limits_a^b {\left( {f(x) \pm g(x)} \right)dx} = \int\limits_a^b {f(x)dx} \pm \int\limits_a^b {g(x)} dx$$

$$ \int\limits_a^b {f(x)dx} = \int\limits_a^c {f(x)dx} + \int\limits_c^b {f(x)} dx$$

Физический смысл определенного интеграла:

Путь S, пройденный телом при прямолинейном движении со скоростью v(t) за интервал времени от $$ {t_1 } $$ до $$ {t_2 }$$, вычисляется по формуле

$$ S = \int\limits_{t_1 }^{t_2 } {v(t)dt}$$

Геометрический смысл определенного интеграла:

Площать S криволинейной трапеции (фируры, ограниченной графиком непрерывной положительной на интервале $$ \left[ {a;b} \right] $$ функции $$ y = f(x)$$, осью OX и прямыми x = a и x = b) вычисляется по формуле

$$ S = \int\limits_a^b {f(x)} dx $$

2017-01-14 01:12:34