Периодическая дробь

Ключевые слова: дробь, периодическая дробь, десятичная дробь, рациональные числа. чистая периодическая дробь, смешанная периодическая дробь

Любую обыкновенную дробь можно представить в виде бесконечной десятичной дроби. При этом просто делят числитель на знаменатель, постепенно получая десятичные знаки.

Периодически повторяющиеся группы цифр в десятичной записи числа называют периодом, а бесконечную десятичную дробь. имеющую такой период в своей записи, называют периодической. для краткости период записывают один раз, заключая его в круглые скобки: $$\frac{3}{14}$$ = 0,2142857142857142857... = 0,2(142857).

Если период начинается сразу после запятой, то дробь называют чистой периодической: 5,(674); если же между запятой и периодом есть другие десятичные знаки, то дробь называют смешанной периодической: 0, 2(321), 7, 32(0).

Обращение бесконечной десятичной периодической дроби в обыкновенную дробь.

Рассмотрим дробь 3,1737373 = 3,1(73) смешанная периодическая дробь. Положим x = 3,1(73) = 3,1737373. Умножим это число на 10 и получим чистую периодическую дробь 10x = 31,(73). Положим y = 31,(73) и обратим эту чистую периодическую дробь в обыкновенную: y = 31,(73) $$\Rightarrow$$ 100y = 3173,(73) $$\Rightarrow$$ 100y - y = 3173,(73) - 31,(73) $$\Rightarrow$$ 99y = 3142 $$\Rightarrow y = \frac{3142}{99}$$. Значит 10x = 31,(73) = $$ \frac{3142}{99}$$, $$\Rightarrow x = \frac{3142}{990}$$. Можно обратить бесконечную периодическую десятичную дробь в обыкновенную дробь можно применяя правило:

См. также:
Дроби, Десятичные числа