Задачи на проценты и доли

При решении задач на проценты надо помнить, что процент это просто одна сотая часть числа. Если число a увеличить на 5%, 17%, то получим соответственно 1,05a , 1,17a . Если число a уменьшить на 7%, 19%, то получим соответственно 0,93a , 0,81a.

Задача 1. Если a дороже b на 60%, то найдите насколько процентов b дешевле a.

Решение: $$ a = 1,6b = \frac{8}{5}b \Rightarrow b = \frac{5}{8}a = 0,65a $$ , т.е. b дешевле a на 35%.

Замечание. Последовательное увеличение на некоторое число процентов, а потом уменьшение на это же число процентов не приводит к начальному значению, так как уменьшение на число процентов проходит уже над другим числом. Можно сначало уменьшить, а затем увеличить на некоторое число процентов, но в результате получим число процентов меньше, чем было первоначально.

Основные типы задач на проценты:

1. Найти число процентов которое составляет число A от числа B. Решение: $$\begin{array}{*{20}c} B & - & {100{\rm{\% }}} \\ A & - & {x{\rm{\% }}} \\ \end{array}$$ Ответ: $$ x = \frac{A}{B} \cdot 100{\rm{\% }}$$

2. Число A увеличилось на 20%, а затем полученное число уменьшили на 25%. Определите как в итоге, изменилось исходное число. Решение: $$ \begin{array}{l} 1)A_1 = \left( {100\% + 20\% } \right)A = 120\% A = 1,2A \\ 2)A_2 = \left( {100\% - 25\% } \right)A_1 = 75\% A_1 = 0,75 \cdot 1,2A = 0,9A = 90\% A \\ 3)A_2 - A = 90\% A - 100\% A = - 10\% A \\ \end{array}$$ Ответ: уменьшилось на 10%.

3. Как изменится время, если скорость движения увеличится на 25%. Решение: $$ t = \frac{S}{v}\;\; \Rightarrow \;\;t_1 = \frac{S}{{v_1 }} = \frac{S}{{1,25v}} = \frac{1}{{1,25}}\frac{S}{v} = 0,8\frac{S}{v} = 80\% t $$. Ответ: уменьшится на 20%

4. Пусть даны два вещества A и B, с массами $${m_A }$$ и $${m_B }$$. Их перемешали и получили смесь (сплав, раствор и т.п.). Найти процентное содержание вещества $${x_A }$$ в данной смеси. Решение: $$ \begin{array}{*{20}c} {m_A + m_B } & - & {100{\rm{\% }}} \\ {m_A } & - & {x_A {\rm{\% }}} \\ \end{array}$$ Ответ: $$ x_A = \frac{{m_A }}{{m_A + m_B }} \cdot 100\%$$.

2017-08-07 20:36:04